1、章末复习课网络构建核心归纳1.等差数列和等比数列的基本概念和公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)递推关系an1andq中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时A叫做a与b的等差中项，且A如果a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G通项公式ana1(n1)dana1qn
2、1前n项和公式Snna1d当q1时，Sn当q1时，Snna1性质am，an的关系aman(mn)dqmnm，n，s，tN*，mnstamanasatamanasatkn是等差数列，且knN*akn是等差数列akn是等比数列n2k1，kN*S2k1(2k1)aka1a2a2k1a判断方法利用定义an1an是同一常数是同一常数利用中项anan22an1anan2a利用通项公式anpnq，其中p，q为常数anabn(a0，b0)利用前n项和公式Snan2bn(a，b为常数)SnA(qn1)，其中A0，q0且q1或Snnp(p为非零常数)2.求数列的通项公式的方法(1)归纳法；(2)累加、累乘法；(3
3、)构造等差、等比数列法.3.求数列的前n项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式；(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(5)倒序相加：例如等差数列前n项和公式的推导；(6)并项求和法：适用于正负相间的数列.要点一等差、等比数列的判定1.判定等差数列的方法(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法.2.判定等比数列的方法(1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法.注：
4、以上的第三种方法只能作为判定方法，而不能作为证明方法.【例1】已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明当n2时，由an2SnSn10得SnSn12SnSn1，所以2，又2，所以是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得2n，所以Sn.当n2时，anSnSn1；当n1时，a1，不符合an.故an【训练1】已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN*.(1)证明：an1是等比数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明Snn5an85，Sn1(n1)5an185，两式相减得：an115
5、an5an1，整理得：an1an，an11(an1)，又a115a185，即a114，a1114115，数列an1是以15为首项，为公比的等比数列.(2)解由(1)可知an115，an115.要点二求数列的通项公式数列的通项公式是数列的重要内容之一，它把数列各项的性质集于一身.常用的求通项公式的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项和作差法、辅助数列法.【例2】已知数列an中，a12，且满足an1an2nn，求数列an的通项公式.解由条件知an1an2nn，则a2a1211，a3a2222，a4a3233，anan12n1n1，累加得(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)(2
6、11)(222)(233)(2n1n1)，ana1(21222n1)(12n1)2n2，a12，an2n.【训练2】已知Sn4an，求an与Sn.解Sn4an，Sn14an1，n2，当n2时，SnSn1anan1an.anan1.2，2nan2n1an12，2nan是等差数列，d2，首项为2a1.a1S14a12a1，a11，2nan22(n1)2n.ann，nN*，Sn4an4n4.要点三等差、等比数列的综合问题等差、等比数列是两类基本的数列，两数列相结合的问题经常考查，特别是通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项是命题的热点.【例3】在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1
7、)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由题意，可得解得所以an1(n1)(3)3n2.(2)由题意，得anbnqn1，所以bn3n2qn1.当q1时，bn3n1，则Sn；当q1时，Snb1b2bn14(3n2)(1qqn1).综上，Sn【训练3】已知等差数列an的公差d为2，且a1，a3，a4成等比数列.(1)求an的通项公式；(2)设an的前n项和为Sn，求S20的值.解(1)a1，a3，a4成等比数列，aa1a4，(a12d)2a1(a13d)，(a14)2a1(a16)，解得a
8、18.an的通项公式为an2n10.(2)S2010(a1a119d)10(16192)220，S20的值为220.要点四数列求和问题(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.【例4】已知公差不为0的等差数列an的首项a12，且a11，a21，a41成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，nN*，Sn是数列bn的前n项和，求使Sn
9、成立的最大的正整数n.解(1)设an的公差为d.由a11，a21，a41成等比数列，可得(a21)2(a11)(a41)，又a12，(3d)23(33d)，解得d3(d0舍去)，则ana1(n1)d23(n1)3n1.(2)bn，Sn，则Sn，即，解得n12，则所求最大的正整数n为11.【训练4】设Sn为数列an的前n项和，且a11，当n2时，(n1)an(n1)Sn1n(n1)，nN*.(1)证明：数列为等比数列；(2)记TnS1S2Sn，求Tn.(1)证明当n2时，anSnSn1，所以(n1)(SnSn1)(n1)Sn1n(n1)，即(n1)Sn2nSn1n(n1)，则21，所以12，又12，故数列是首项为2，公比为2的等比数列.(2)解由(1)知12n12n，所以Snn2nn，故Tn(12222n2n)(12n).设M12222n2n，则2M122223n2n1，所以M2222nn2n12n12n2n1，所以M(n1)2n12，所以Tn(n1)2n12.