1、7 向量应用举例 关键能力合作学习 类型一 直线的方向向量、法向量及点到直线距离的应用(数学抽象)【题组训练】1.(2020无锡高一检测)直线l经过点(2,4)且原点到直线l的距离为2,则满足 条件的直线l有_条.()A.0 B.1 C.2 D.3 2.设点A(1,1),B(3,y),且 为直线2x-y+1=0的方向向量,则y=_.3.求过点A(2,-1),且与向量a=(5,1)垂直的直线的方程.AB【解题策略】利用方向向量及法向量求直线方程(1)关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系.(2)常用结论如下:所求直线与已知直线平行,则和已知直线的方向向量平行,和已知直线的法
2、向量垂直;所求直线与已知直线垂直,则和已知直线的方向向量垂直,和已知直线的法向量平行.【补偿训练】若点(1,a)到直线x-y+1=0的距离是 则实数a=_.【解析】因为点(1,a)到直线x-y+1=0的距离是 所以 即|a-2|=3,解得a=-1或5,所以实数a的值为-1或5.答案:-1或5 3 2,23 2,2221 a13 221(1 ；）类型二 平面向量在物理中的应用(数学建模)【典例】质量为m=2.0 kg的木块,在平行于斜面向上的拉力F=10 N的作用下,沿倾斜角为=30的光滑斜面滑行|s|=2.0 m的距离.如图.(g取9.8 N/kg)(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做
3、的功.(2)在这一过程中,物体所受各力对物体做的功的代数和是多少?(3)求物体所受合外力对物体所做的功,并指出它与物体所受各力对物体做功的代数和之间有什么关系?四步 内容 理解 题意 本题主要考查将实际问题转化为向量问题的数学建模能力.思路 探求(1)分析物体受力,按功的定义式求解每个力做的功.(2)将(1)中各值累加即可.(3)先求出合外力做的功,然后分析关系.四步 内容 书写 表达(1)木块受三个力的作用,重力G,拉力F和支持力FN.拉力F与位移s方向相 同,所以拉力对木块所做的功为WF=Fs=|F|s|cos 0=20(J).支持力FN与位移方向垂直,不做功,所以WN=FNs=0.重力对
4、物体所做的功为WG=Gs=|G|s|cos(90+)=-19.6(J).(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W=WF+WN+WG=0.4(J).(3)物体所受合外力的大小为|F合|=|F|-|G|sin =0.2(N).所以合外力对物体所做的功为W=F合s=0.4(J).所以物体所受合外力对物体所做的功与物体所受各力对物体做功的代数 和相等.四步 内容 题后 反思 明确掌握用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移 都是向量;(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(3)动量mv是数乘向量;(4)功即是力F与所 产生位移s的数量积
5、.【解题策略】用向量解决物理中相关问题的步骤(1)转化:把物理问题转化成数学问题.(2)建模:建立以向量为主体的数学模型.(3)求解:求出数学模型的相关解.(4)回归:回到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象.【跟踪训练】如图,用两根分别长5 米和10米的绳子,将100 N的物体吊在水平屋顶AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).2类型三 平面向量在平面几何中的应用(逻辑推理、数学运算)角度1 平面几何中的长度问题 【典例】已知在RtABC中,C=90,设AC=m,BC=n.(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB.(2)若E为CD的中
6、点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).【思路导引】利用A,E,F三点共线,.12AFAE uuruur【变式探究】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,且(a+b)2=1.(1)求.(2)在ABC中,若 =a,=b,求|.3ABACBC 角度2 判断几何图形的形状 【典例】(2020福州高一检测)O为平面上的定点,A,B,C是平面上不共线的三 点,若 则ABC是()A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形 C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形【思路导引】利用向量的加减法灵活地变形,得到|=|,然后分析得到 形状.OBOCOBOC2
7、OA0,（）（）ABuurAC【解题策略】利用向量解决垂直问题的方法与途径(1)方法:对于线段的垂直问题,可以联想到两个向量垂直的条件,即向量的数量积为0.(2)途径:可以考虑向量关系式的形式,也可以考虑坐标的形式.【题组训练】1.已知ABC的重心是G,CA的中点是M,且A,M,G三点坐标分别是(6,6),(7,4),则|=()【解析】选D.由题意M是AC中点,得C(8,2),设B(x,y),则由G是ABC的重心,所 以 则(7-x,4-y)=3 所以x=2,y=0,所以 =(6,2),|=2 .16 8,3 3（）BC10A.4 10 B.10 C.D.2 102BM3GM,5 4,3 3（
8、）BCBC102.在四边形ABCD中,如果 那么四边形ABCD的形状是()A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形【解析】选A.因为 ,所以四边形ABCD为平行四边形,由 =0可 得出ABAD,因此,平行四边形ABCD为矩形.AB AD0,ABDC,ABDCAB AD【补偿训练】若平面四边形ABCD满足 则该四边形一定是()A.矩形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.平行四边形 AB2DC CDCA AB0，课堂检测素养达标 1.已知两个力F1,F2的夹角为90,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为 60,那么F1的大小为()A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N 232.
9、在ABC中,若 且ab=bc=ca,则ABC的形状为()A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形【解析】选A.ab=bc=ca,则ab=bc,所以b(a-c)=0,即 (D为AC的中点),同理,(E,F分别为BC,AB的中点),故三角形为等边三角形.BC,CA,AB,abcCABDBCAE,ABCF3.(2020恩施高一检测)已知O是ABC内部一点,且 =0,则 OAB的面积与OAC的面积之比为()A.B.1 C.D.2 OA2OBOC12324.(教材二次开发:习题改编)已知点A(1,1),M(x,y),且A与M不重合,若向量 与向量a=(1,2)垂直,则点M的轨迹方程为_.【解析】由题意得 =(x-1,y-1),因为 a,所以 a=0,所以(x-1,y-1)(1,2)=x-1+2(y-1)=0,即x+2y-3=0(x1).答案:x+2y-3=0(x1)AMAMAMAM5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).以线段AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是_、_.【解析】=(3,5),=(-1,1),求两条对角线的长即求|+|与|-|的大小.由 +=(2,6)得|+|=2 ,由 -=(4,4),得|-|=4 .答案:2 4 ABACABACABACABACABAC10ABACABAC2102