1、常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用(建议用时：50分钟)1(2013陕西卷)设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析由|a|b|cosa，b|a|b|，则有cosa，b1.即a，b0或，所以ab.由ab，得向量a与 b同向或反向，所以a，b0或，所以|ab|a|b|.答案C2已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则|b| 等于 ()A5 B4 C3 D1解析向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则ab|a|b|cos 120|b|，|ab|2|a|22ab|b|2.所以1393|b
2、|b|2，则|b|1(舍去)或|b|4.答案B3(2013辽宁一模)ABC中D为BC边的中点，已知a，b则在下列向量中与同向的向量是 ()A. B. C. D|b|a|a|b解析()(ab)，向量与向量是同向向量答案C4已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a与b的夹角为60，且|a|b|1，则向量a与c的夹角为 ()A30 B60 C120 D150解析因为abc0，所以c(ab)所以|c|2(ab)2a2b22ab22cos 603.所以|c|.又ca(ab)aa2ab1cos 60 ，设向量c与a的夹角为，则cos .又0180，所以150.答案D5(2013安徽卷)在平面直角坐标系中
3、，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是 ()A2 B2 C4 D4解析由|2，知cosAOB，又0AOB，则AOB，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0，2)，P(x，y)，由，可得因为|1，所以1，当由可行域可得S02，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S4S04，故选D.答案D6(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_解析由题意知：()()()()224022.答案27(2013江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_解析a在b方向上的射影为|
4、a|cosa，b.ab(e13e2)2e12e6e1e25.|b|2e1|2.答案8在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_解析建立如图所示的直角坐标系，设DCm，P(0，t)，t0，m，由题意可知，A(2，0)，B(1，m)，(2，t)，(1，mt)，3(5，3m4t)，|3|5，当且仅当tm时取等号，即|3|的最小值是5.答案59如图，在平面直角坐标系xOy中，点A 在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|2，设AOB，.(1)用表示点B的坐标及|OA|；(2)若tan ，求的值解(1)由题意，可得点B的坐标为(2cos ，2
5、sin )在ABO中，|OB|2，BAO，B.由正弦定理，得，即|OA|2sin.(2)由(1)，得|cos 4sincos .因为tan ，所以sin ，cos .又sinsincos cossin ，故4.10已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，C，求ABC的面积(1)证明因为mn，所以asin Absin B，即ab(其中R是ABC外接圆的半径)，所以ab.所以ABC为等腰三角形(2)解由题意，可知mp0，即a(b2)b(a2)0，所以abab
6、，由余弦定理，知4c2a2b22abcos(ab)23ab，即(ab)23ab40，所以ab4或ab1(舍去)所以SABCabsin C4sin .11如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP(0)，C点坐标为(2，0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求S的最大值；(2)若CBOP，求sin的值解(1)由已知，得A(1，0)，B(0，1)，P(cos ，sin )，因为四边形OAQP是平行四边形，所以(1，0)(cos ，sin )(1cos ，sin )所以1cos .又平行四边形OAQP的面积为S|sin sin ，所以S1cos sin sin1.又0，所以当时，S的最大值为1.(2)由题意，知(2，1)，(cos ，sin )，因为CBOP，所以cos 2sin .又0，cos2sin21，解得sin ，cos ，所以sin2 2sin cos ，cos2cos2sin2.所以sinsin 2coscos 2sin.