1、空间向量与垂直关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知平面的一个法向量为a=(x,1,-2),直线l的一个方向向量为n=(,y,-1),若l,则()A.x+2y=-4B.x+y=3C.x+2y=D.x+y=2.已知平面与的一个法向量分别是a=(x,2,2),b=(1,3,y),若,且|a|=2,则y=()A.-5B.-1C.4或-4D.-5或-13.(2013青岛高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=4,点E是D1A1的中点,设F在B1C1上,若DEBF,则B1F=()A.4B.2C.1D.4.如图,四边形ABCD为正方形,PD平面
2、ABCD,PDQA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定5.(2013聊城高二检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,ABAC,E是BC的中点,则A1E与平面AB1C1的位置关系是()A.相交但不垂直B.A1E平面AB1C1C.A1E平面AB1C1D.A1E平面AB1C1二、填空题(每小题8分,共24分)6.平面与平面的法向量分别是m,n,直线l的方向向量是a,给出下列论断:mn;mn;aml;aml.其中正确的论断为(把你认为正确论断的序号填在横线上).7.(2013四平高二检测)已知平面内有一个点A
3、(2,-1,2),的一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点中,在平面内的是(把正确的序号都填上).B(1,-1,1);C(1,3,);D(1,-3,);E(-1,3,-).8.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把ABD与ACD折成互相垂直的两个平面后,有以下四个结论:0;BAC=60;三棱锥D-ABC是正三棱锥;平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确结论的序号是(请把正确结论的序号都填上).三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD底面ABCD,AD=PD=1,AB=2a(a0),E,F分别为CD,
4、PB的中点.求证:EF平面PAB.10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证:(1)ADD1F.(2)平面AED平面A1FD1.11.(能力挑战题)直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,在线段AA1上是否存在点F,使CF平面B1DF,若存在,求出AF的长,若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选D.l,na,即a=n,(x,1,-2)=(,y,-1)解得x+y=.2.【解析】选D.由|a|=2,得x2+4+4=24,解得x=4,ab,ab=x+6+2y=0,当x=4时
5、,得y=-5;当x=-4时,得y=-1.【误区警示】在求解本题的过程中,根据等量关系列出关系式后,切记一定不要漏解.3.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则D(0,4,0),E(0,2,1),B(1,0,0),设点F(1,a,1),则=(0,-2,1),=(0,a,1),DEBF,=-2a+1=0,解得a=,即B1F=.4.【解析】选B.如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).因为=0,=0
6、,所以PQDQ,PQDC,又DQDC=D,所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC,所以平面PQC平面DCQ.5.【解析】选A.如图所示,建立直角坐标系Axyz,设AB=1,则A(0,0,0),B1(1,0,1),C1(0,1,1),A1(0,0,1),E(,0),=(1,0,1),=(0,1,1),=(,-1),设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z),令z=-1,则x=y=1,故n=(1,1,-1),n0,故A1E与平面AB1C1不平行,又与n不共线,故A1E与平面AB1C1不垂直,即A1E与平面AB1C1相交但不垂直.6.【解析】错误,因为与可能重合,错误,因为l与除l外,还可能有l.显
7、然,正确.答案:7.【解析】=(-1,0,-1),=(-1,4,-),=(-1,-2,-),=(-3,4,-),n=0,n,故C.答案:8.【解析】平面ABD平面ACD,BDAD,BD平面ACD,BDAC,=0,故不正确.AD=BD=CD,且ADB=ADC=BDC,ABD,ACD,BCD是全等三角形,AB=AC=BC,BAC=60,故正确.由可知AB=AC=BC,DA=DB=DC,三棱锥D-ABC是正三棱锥,故正确.建立空间直角坐标系,如图所示,设DA=DB=DC=1,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),可求出平面ADC的法向量是n1=(1,0,0),平面ABC的法向量是n
8、2=(1,1,1),n1n2=1+0+0=10,故不正确.答案:9.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,AD=1,PD=1,AB=2a(a0),则E(a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,),得=(0,),=(2a,1,-1),=(2a,0,0).由=(0,)(2a,0,0)=0,得,即EFAB,同理EFPB,又ABPB=B,所以,EF平面PAB.10.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),D(0,1,0),E(1,0,),F(,1,0),D1(0,1,1).(1)因为=(0,1,0),=(,0,
9、-1),所以=0,所以,即ADD1F.(2)因为=(1,0,),所以=-=0,所以,所以AED1F.由(1)知ADD1F,又ADAE=A,所以D1F平面AED.又D1F平面A1FD1,所以平面AED平面A1FD1.11.【解题指南】假设存在点F,利用CF平面B1DF列出方程求AF.【解析】以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则C(0,a,0),B1(0,0,3a),D(,a,3a).假设存在F点,使CF平面B1DF.不妨设AF=b,则F(a,0,b),=(a,-a,b),=(a,0,b-3a),=(a,a,0).因为=a2-a2+0=0,所以恒成立.由=2a2+b(b-3a)=2a2+b2-3ab=0,得b=a,或b=2a.所以当AF=a,或AF=2a时,CF平面B1DF.