1、第六节正弦定理、余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2R.a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C.变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)2R.cos A；cos B；cos C.2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为内切
2、圆半径)1在ABC中，ABabsin Asin B.2三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3内角和公式的变形(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C.4角平分线定理：在ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；
3、当b2c2a20时，ABC为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，a1，则b()A2B1C. D.D由得b2.2在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解B两解C一解 D解的个数不确定Bbsin A24sin 4512，121824，即bsin Aab.此三角形有两解3在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 等腰三角形或直角三角形由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或
4、直角三角形4在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于 2因为，所以sin B1，所以 B90，所以AB2，所以SABC222.考点1利用正、余弦定理解三角形问题解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由ABC及，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2b2c22bccos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C(AB)，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况(1)(2019全国卷)
5、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6B5C4 D3(2)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.求A；若ab2c，求sin C.(1)Aasin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.故选A.(2)解由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.由知B120C，由题设及正弦定
6、理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据1.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B .bsin Aacos B0，.由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1.又B(0，)，B.2在ABC中，AB4，AC
7、7，BC边上中线AD，则BC .9设BDDCx，ADC，ADB，在ADC中，(7)2x22xcos ，在ABD中，(4)2x22xcos()，得x，BC9.3(2019贵阳模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C120.(1)求边长a；(2)求AB边上的高CD的长解(1)由题意得ba2，ca4，由余弦定理cos C得cos 120，即a2a60，所以a3或a2(舍去)，所以a3.(2)法一：由(1)知a3，b5，c7，由三角形的面积公式得absinACBcCD，所以CD，即AB边上的高CD.法二：由(1)知a3，b5，c7，由正弦定理得，即sin A，在RtAC
8、D中，CDACsin A5，即AB边上的高CD.教师备选例题(2018天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A
9、2cos2A1，所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.考点2利用正、余弦定理解决三角形面积问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得s
10、incos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，所以B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解1.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别
11、为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为 6法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小解(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin
12、Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S，得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.教师备选例题已知ABC的面积为3，AC2，BC6，延长BC至D，使ADC45.(1)求AB的长；(2)求ACD的面积解(1)因为SABC62sinACB3，所以si
13、nACB，ACB30或150，又ACBADC，且ADC45，所以ACB150，在ABC中，由余弦定理得AB21236226cos 15084，所以AB2.(2)在ACD中，因为ACB150，ADC45，所以CAD105，由正弦定理得，所以CD3，又ACD18015030，所以SACDACCDsinACD2(3).考点3判断三角形的形状判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos B
14、asin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定B由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A，ABC为直角三角形在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状是()A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形C因为，所以.所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A.所以ABC是等边三角形