1、3.2 平面向量基本定理 必备知识自主学习 1.平面向量基本定理(1)条件:e1,e2是同一平面内的两个_向量;a是该平面内_向量.(2)结论:存在唯一一对实数1,2,使得a=_.导思1.怎样的向量才能作为基向量?2.在表示向量时,基底的选择是唯一的吗?不共线 任一 1e1+2e2【思考】如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?依据是什么?提示:能.依据是数乘向量和平行四边形法则.2.基底 _的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.【思考】在表示向量时,基底的选择是唯一的吗?提示:对基底的选取不唯一,平面内任一向量a都可
2、被这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.不共线【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底.()(2)零向量可以作为基向量.()(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.()(4)只有不共线的两个向量可以作为基底.()2.若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-e2 C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1+3e2 123.(教材二次开发:例题改编)设D,E,F分别是ABC的边BC,CA,AB
3、上的点,且AF=AB,BD=BC,CE=CA.若记 试用m,n表示 121314AB,CA,mnDE,EF,FD.关键能力合作学习 类型一 平面向量基本定理的理解(数学抽象)【题组训练】1.设O点是平行四边形ABCD两条对角线的交点,下列向量组中可作为这个平行 四边形所在的平面的基底的是()A.B.C.D.ADAB;DABC;CADC;ODOB与与与与2.如果e1,e2是平面 内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()e1+e2(,R)可以表示平面 内的所有向量;对于平面 内任一向量a,使a=e1+e2的实数对(,)有无穷多个;若向量 1e1+1e2与 2e1+2e2共线,则有且只有一个
4、实数,使得 1e1+1e2=(2e1+2e2);若存在实数,使得 e1+e2=0,则=0.A.B.C.D.3.(2020烟台高一检测)设e1,e2是平面内一组基底,若 1e1+e2sin 2=0,1,2R,则以下不正确的是()A.sin 1=0 B.tan 2=0 C.1 2=0 D.cos 2=1 2.选B.由平面向量基本定理可知,是正确的;对于,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;对于,当两向量的系数均为零,即1=2=1=2=0时,这样的有无数个.3.选D.因为e1,e2是平面内一组基底,且1e1+e2sin 2=0,由平面向量基本定
5、理可得:1=sin 2=0,所以cos 2=1,所以D不正确.【解题策略】用一组基底表示向量的注意事项 平面内任一向量都可用一组基底来表示,在表示过程中,主要结合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点:(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基底;(2)注意平面向量基本定理的应用;(3)注意a,b不共线,则0=0a+0b是唯一的;(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系;(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技巧.类型二 平面向量基本定理的综合应用(逻辑推理、数学运算)角度1 用基底表示向量 【典例】如图,在ABC中,设 =a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,
6、CR的中点为P,若 =ma+nb,则m+n=()A.B.C.D.1 ABACAP122367【思路导引】根据平面向量基本定理及其几何意义,结合条件可得 a=及 =b,解方程可求得 =a+b,即可得到m,n的值,所以得到结果.1 AP2QR23 AP QR2AP2747【变式探究】设D为ABC所在平面内一点,则()【解析】选A.由题知 BC3CD,14A.ADABAC3314B.ADABAC3341C.ADABAC3341D.ADABAC33 1ADACCDACBCAC3 114ACABABAC.333（）角度2 三点共线与系数关系 【典例】如图所示,在OAB中,点M是AB的靠近B的一个三等分
7、点,点N是OA的靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P,求 .【思路导引】可利用 及 两种形式来表示 ,并都转化为以a,b为基底的表达式.根据任一向量基底表示的唯一性求得s,t,进而求得 .OAOB，abOPOP tOMOP ON NP ON sNBOPOP【解题策略】用基底表示向量的两种方法:(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.(2)利用待定系数法,即利用定理中 1,2的唯一性列方程组求解.【题组训练】1.(2020乐山高一检测)如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,若a=e1+e2,则+=()A.-1 B.3 C.1 D.-3 2.(2020
8、上海高一检测)如图,P为ABC内一点,且 =,延长BP交AC于点E,若 ,则实数 的值为_.AP11ABAC35AEAC 3.在ABC中,M是AB的中点,且 ,BN与CM相交于点E,设 =a,=b,试用基底a,b表示向量 .【解析】易得 由N,E,B三点共线,设存在实数m,满足 1ANAC3ABACAE1111ANACAMAB3322，ba1AEmAN1m ABm1m.3（）（）ba由C,E,M三点共线,设存在实数n满足:所以 由于a,b为基底,所以 解得 所以 1AEnAM1n ACn 1n.2（）（）ab11m1mn 1n32（）（），baab11mn21 m 1n3，3m54n5，21A
9、E.55ab课堂检测素养达标 1.在ABC中,若 ,则下列关系式正确的是()A.BD=2CD B.BD=CD C.BD=3CD D.CD=2BD【解析】选B.由 知点D是BC的中点.1ADABAC21ADABAC22.(教材二次开发:习题改编)(2020珠海高一检测)在ABC中,D是AB边上一 点,且 ,则 的值为()A.B.-C.D.-AD2DB2CDACCB3 141314133.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x-3y)e1+(3x-4y)e2=6e1+3e2,则x=_,y=_.【解析】因为向量e1,e2不共线,所以 解得 答案:-15-12 2x3y6,3x4y3,?x15,y12.4.如图,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,则APPM=_.5.在ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若 =a,=b,用a,b表示 .【解析】如图.ACBDAF ,由题意知DEBE=13=DFAB,所以 ,所以 AFADDF1DFAB3111AFADDFAOODABACBD3221111 11AOOBACBD(ACBD)3223 22111 1121().223 2233ababab