1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线x-3y-1=0的倾斜角=()A.30B.60C.120D.1502.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是()A.一个点 B.一个圆C.一条直线 D.不存在3.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于()A.14 B.34 C.14或45 D.34或144.已知直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,若l1l2
2、,则实数a=()A.-1或1 B.0或1 C.1 D.-15.已知a0,b0,直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1l2,则2a+1b的最小值为()A.2 B.4 C.8 D.96.直线l:x-2y-1=0与圆M:x2+y2-4x-6y+k=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则实数k的值为()A.6 B.23 C.10 D.47.已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1,直线l2的方程为ax+by+r2=0,那么()A.l1l2,且l2与圆O相离B.l1l2,且l2与圆O相切C.l1l2,且l2与圆O
3、相交D.l1l2,且l2与圆O相离8.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+42=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点坐标为()A.(2,0) B.(0,2) C.(1,0) D.(0,1)二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列说法错误的是()A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件B.直线xsin +y+2=0的倾斜角的取值范围是0,434,C.过(x1
4、,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x+y-2=010.已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y-3)2=1.现给出如下结论,其中正确的是()A.圆O与圆C有四条公切线B.过点C(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y=5或x-y+1=0C.过点C且与圆O相切的直线方程为9x-16y+30=0D.P、Q分别为圆O和圆C上的动点,则|PQ|的最大值为13+3,最小值为13-311.已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l
5、2的距离之比为12,则直线的方程可能为()A.2x+3y-8=0B.4x+6y+5=0C.2x+3y-5=0D.12x+18y-13=0 12.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(kR),下列命题正确的是()A.不论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上B.所有圆Ck均经过点(3,0)C.存在一条直线始终与圆Ck相切D.若k22,322,则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为.14.在平面直角坐标系内,到点A(1,2
6、),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.15.若曲线C1:y=2+-x2-2x与曲线C2:(y-2)(y-kx+k)=0有四个不同的交点,则实数k的取值范围是.16.已知直线l:y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A、B两点,M是线段AB的中点,则M的轨迹方程为; M到直线3x-4y-6=0的距离的最小值为.(本题第一空3分,第二空2分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l过点P(-1,2).(1)若直线l在两坐标轴上的截距和为零,求l的方程;(2)设直线l的斜率k0,直
7、线l与两坐标轴的交点分别为A、B,求AOB面积的最小值.18.(本小题满分12分)等腰直角ABC的直角为角C,且点C(0,-1),斜边AB所在的直线方程为x+2y-8=0.(1)求ABC的面积;(2)求斜边AB中点D的坐标.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长
8、相等,试求所有满足条件的点P的坐标.20.(本小题满分12分)已知ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,A的平分线所在的直线方程为y=0,点C的坐标为(1,2).(1)求点A和点B的坐标;(2)过点C作直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点M、N,求MON(O为坐标原点)面积的最小值及此时直线l的方程.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明y轴被过A,B,C三点的圆截得的弦长为定值.22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,
9、直线l:x-3y-4=0交x轴于点M,以O为圆心的圆与直线l相切.(1)求圆O的方程;(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得ONP=45,求x0的取值范围;(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有AMO=BMO?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.答案全解全析一、单项选择题1.A直线x-3y-1=0的斜率k=33,由斜率和倾斜角的关系可得tan =33,00,b0,所以2a+1b=2a+1b(a+2b)=2+2+4ba+ab4+24baab=8,当且仅当4ba=ab,即a=12,b=14时,等号成立,所以2a
10、+1b的最小值为8.故选C.6.D由题意知,(x-2)2+(y-3)2=13-k,则圆心为(2,3),半径r为13-k,所以圆心到直线的距离d=|2-23-1|1+(-2)2=5,由d2+|AB|22=r2,得5+22=13-k,解得k=4,故选D.7.A点P(a,b)在圆O内部,a2+b2r2|r|=|r|,l2与圆O相离.8.A依题意得圆C的半径r=4212+12=4,所以圆C的方程为x2+y2=16.连接OA,OB.因为PA,PB是圆C的两条切线,所以OAAP,OBBP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),bR,则线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的
11、方程为(x-4)2+y-b22=42+b22,bR,化简得x2+y2-8x-by=0,bR,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,bR,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过定点(2,0).二、多项选择题9.ACD当a=0时,两直线方程分别为y=1和x=2,此时也满足直线相互垂直,故A说法错误;直线的斜率k=-sin ,则-1k1,即-1tan 1,0,434,故B说法正确;当x1=x2或y1=y2时,直线方程为x=x1或y=y1,此时直线方程y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不成立,故C说法错误;若直线过原点,则直线方程为y=x,此时也满足条件,故D说法错误,
12、故选ACD.10.AD设圆O的半径为r1,圆C的半径为r2.由题意得,圆心距|OC|=13r1+r2=2+1=3,所以两圆外离,有四条公切线,A正确;与坐标轴截距相等的直线过原点或斜率为-1,故B不正确;因为点C(2,3)在圆O的外部,所以过点C与圆O相切的直线有两条,故C不正确;|PQ|的最大值等于|OC|+r1+r2=13+3,最小值为|OC|-r1-r2=13-3,故D正确.故选AD.11.BD直线l1的方程可化为4x+6y-2=0.设l到l1的距离为d1,l到l2的距离为d2,l的方程为4x+6y+c=0(c-2且c-9),则d1=|c-(-2)|42+62,d2=|c-(-9)|42
13、+62.依题意得d1d2=12,即d2=2d1,|c+9|=2|c+2|,化简得c+9=2c+4或c+9=-2c-4,解得c=5或c=-133.因此,直线l的方程为4x+6y+5=0或12x+18y-13=0.故选BD.12.ACD对于A,圆心的坐标为(k,k),满足x=y,所以圆心在直线y=x上,故A正确;对于B,(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,=-40,无解,故B错误;对于C,易知与直线y=x平行且距离为2的直线始终与圆Ck相切,即定直线y=x22始终与圆Ck相切,故C正确;对于D,圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,可转化为圆x2+y2=1与圆Ck有2个交点,
14、则12|k|3,解得k22,322-322,-22,故D正确.故选ACD.三、填空题13.答案(x+3)2+(y-2)2=5解析线段AB的中垂线方程为x=-3,代入直线x-2y+7=0,得y=2,故圆心C(-3,2),再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=5,圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=5.14.答案(2,4)解析如图,设平面直角坐标系中任一点P,P到A,B,C,D的距离之和为PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PCBD+AC,故四边形ABCD的对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.易知直线AC的方程为y=2x,直线BD的方程为x+y-6=0,解方程组y=2x,x+y-
15、6=0,得x=2,y=4,故填(2,4).15.答案-4-73,-2解析由C1:y=2+-x2-2x得(x+1)2+(y-2)2=1(y2),曲线C1表示以(-1,2)为圆心,1为半径的上半圆,显然直线y=2与曲线C1有两个交点,交点为半圆的两个端点,直线y=kx-k=k(x-1)与半圆有2个除端点外的交点,当直线y=k(x-1)经过点(0,2)时,k=2-00-1=-2,当直线y=k(x-1)与半圆相切时,|2+2k|1+k2=1,解得k=-4-73或k=-4+73(舍),所以当-4-73k-2时,直线y=k(x-1)与半圆有2个除端点外的交点,故答案为-4-73,-2.16.答案(x+3)
16、2+y2=1(x-4);2解析圆(x+2)2+y2=4的圆心C(-2,0),半径r=2,则圆心C到直线y=k(x+4)的距离d=|-2k+4k|k2+1=|2k|k2+12,直线l:y=k(x+4)过定点A(-4,0),设M(x0,y0),B(x1,y1),则x0=-4+x12,y0=y12,得x1=2x0+4,y1=2y0,代入(x+2)2+y2=4,可得(x0+3)2+y02=1,所以M的轨迹是以(-3,0)为圆心,1为半径的圆,故M的轨迹方程为(x+3)2+y2=1(x-4).则M到直线3x-4y-6=0的距离的最小值为|-33-6|5-1=2.四、解答题17.解析(1)由题意得直线l的
17、斜率存在且不为0.设直线l的方程为y-2=k(x+1)(k0),即kx-y+2+k=0,(2分)则它在两坐标轴上的截距分别为-1-2k和k+2,(3分)由题意,得-1-2k+k+2=0,k=-2或k=1,直线l的方程为2x+y=0或x-y+3=0.(5分)(2)不妨设A-2k-1,0,B(0,k+2),AOB的面积S=12-2k-1|k+2|=k2+2+2k2k22k+2=4,当且仅当k=2时,等号成立,(8分)故AOB面积的最小值为4.(10分)18.解析(1)顶点C到斜边AB的距离d=|0+2(-1)-8|12+22=105=25,(3分)所以斜边|AB|=2d=45,(4分)故ABC的面
18、积S=12|AB|d=124525=20.(6分)(2)由题意知,CDAB,又kAB=-12,所以kCD=2,(7分)所以直线CD的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0,(9分)由x+2y-8=0,2x-y-1=0,解得x=2,y=3,(11分)所以点D的坐标为(2,3).(12分)19.解析(1)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,所以圆心C1(-3,1)到直线l的距离d=|-3k-1-4k|k2+(-1)2=4-2322=1,(2分)化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-724.(3分)所以直线l的方程为y=0或y=-724(x-4)
19、,即y=0或7x+24y-28=0.(5分)(2)设点P的坐标为(m,n),不妨设直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-1k(x-m),即kx-y+n-km=0,-1kx-y+n+mk=0.(6分)因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆的半径也相等,所以圆心C1(-3,1)到直线l1的距离与圆心C2(4,5)到直线l2的距离相等,即|-3k-1+n-km|k2+(-1)2=-4k-5+n+mk-1k2+(-1)2,(8分)化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,关于k的方程有无穷多解,则2-m-n=0,m-n-3=0或
20、m-n+8=0,m+n-5=0,(10分)解得m=52,n=-12或m=-32,n=132,故满足条件的点P的坐标为52,-12或-32,132.(12分)20.解析(1)因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上,且在A的平分线所在的直线y=0上,所以解方程组x-2y+1=0,y=0,得A(-1,0).(2分)因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,所以kBC=-2,因为点C的坐标为(1,2),所以直线BC的方程为2x+y-4=0,(4分)因为kAC=1,kAB=-kAC=-1,所以直线AB的方程为x+y+1=0,解方程组x+y+1=0,2x+y-4=0,得B(5,-6),
21、故点A,点B的坐标分别为(-1,0),(5,-6).(6分)(2)依题意得直线的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k0),则Mk-2k,0,N(0,2-k),(8分)所以SMON=12k-2k(2-k)=124-k-4k124+2-4k(-k)=4,(10分)当且仅当-4k=-k,即k=-2时取等号,所以(SMON)min=4,此时直线l的方程是2x+y-4=0.(12分)21.解析设A(x1,0),B(x2,0).(1)不能出现ACBC的情况,(1分)理由如下:因为x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.(3分)又C的坐标为(0,1),所以AC的斜率与BC的斜率之
22、积为-1x1-1x2=-12-1,所以不能出现ACBC的情况.(5分)(2)证明:线段BC的中点坐标为x22,12,kBC=1-00-x2=-1x2,所以线段BC的中垂线方程为y-12=x2x-x22.由(1)可得x1+x2=-m,所以线段AB的中垂线方程为x=-m2.(7分)联立x=-m2,y-12=x2x-x22,得y=-12(x22+mx2-1),(8分)又x22+mx2-2=0,所以x=-m2,y=-12.所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为-m2,-12,半径r=m2+92.(10分)故y轴被圆截得的弦长为2r2-m22=3,即y轴被过A,B,C三点的圆截得的弦长为定值.(12分)2
23、2.解析(1)由直线l:x-3y-4=0,得原点到直线的距离d=41+3=2,(2分)故圆O的方程为x2+y2=4.(4分)(2)过N 作圆O的切线,切点为Q,如图所示,图则ONQONP=45,sinONQ=|OQ|ON|sinONP=22,|ON|22.(6分)由点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,得x02+y02=x02+(3-x0)28,解得3-72x03+72.(8分)(3)存在定点S(1,0),使得AMO=BMO恒成立,如图所示. 图设直线AB:y=kx+m(k0),直线AB与圆O的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程y=kx+m,x2+y2=4,得(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0,则x1+x2=-2km1+k2,x1x2=m2-41+k2,由AMO=BMO,得kAM+kBM=0,由M(4,0),得2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,2km2-41+k2+(m-4k)-2km1+k2-8m=0,化简得m=-k.此时直线AB:y=kx-k,恒过定点S(1,0).(10分)当直线AB的斜率不存在时,由圆的对称性知直线过S(1,0)时也满足AMO=BMO.因此存在定点S(1,0),使得AMO=BMO恒成立.(12分)