1、3 从速度的倍数到数乘向量 3.1 数 乘 向 量 必备知识自主学习 1.向量的数乘以及运算律(1)向量的数乘的定义 一般地,规定实数 与向量a的乘积是一个_,这种运算叫作向量的数乘,长 度和方向有如下规定:|a|=_.当 0时,a与a方向_;当 1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的|倍;当|0)或反方向(0)上缩短为原来的|倍.2.向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数,使得_,则向量b与非 零向量a共线.(2)性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数,使得_.b=ab=a【思考】(1)若b=2a,b与a共线吗?
2、提示:根据共线向量及向量数乘的意义可知,b与a共线.如果有一个实数,使b=a(a0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a0)是共线向量,那么有且只有一个实数,使得b=a.(2)在向量共线的条件中为什么限定a0?提示:在向量共线的条件中之所以限定a0,是由于若a=b=0,虽然 仍然存在,但 不唯一.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数 使b=a.()(2)实数 与向量a的和+a与差-a都是向量.()(3)对于非零向量a,向量-8a的模是向量4a的模的2倍.()(4)若 ,则A,B,C,D四点共线.()ABkCD2.存在两个非零向量a,
3、b满足b=-3a,则有()A.a与b方向相同 B.a与b方向相反 C.|a|=|3b|D.|a|=|b|【解析】选B.因为-30,所以a与b方向相反.且|-3a|=3|a|,即|b|=3|a|.3.(教材二次开发:例题改编)点C在线段AB上,且 若 则=()【解析】选D.因为点C在线段AB上,且 所以A,B,C的位置关系如图所 示:因为 则 所以=-.2|AC|CB|,3ABBC,2255A.B.C.D.33332|AC|CB|,3ABBC,5ABBC,353关键能力合作学习 类型一 数乘向量的定义及运算律(数学抽象)【题组训练】1.设a是非零向量,是非零实数,则下列结论正确的是()A.a与-
4、a的方向相反 B.|-a|a|C.a与 2a的方向相同 D.|-a|=|a2.两个非零向量a与(2x-1)a的方向相同,则x的取值范围为_.3.已知A,B,C三点共线,且 分别用 表示 AB2,AC5BC,CBAB.【解题策略】对向量数乘运算的三点说明(1)a中的实数 叫作向量a的系数.(2)向量数乘运算的几何意义是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)当=0或a=0时,a=0.注意是向量,而不是数量.类型二 向量的线性运算(逻辑推理)【典例】(1)计算下列各式:3(a-2b+c)-(2c+b-a);(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).(2)设x,y是未知向量:解方程5(
5、x+a)+3(x-b)=0;解方程组 25132151,21.2xyaxyb【思路导引】要解决(1)中的问题,需要用到数乘向量的运算律,其运算过程类似于“合并同类项”;(2)是解关于未知向量的方程或方程组,它与解关于未知数的方程或方程组是类似的,在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.【解题策略】向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同
6、时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.【跟踪训练】(1)化简:(2a+3b-c)-(3a-2b+c)=_.(2)已知向量a,b,x,且(x-a)-(b-x)=x-(a+b),则x=_.【解析】(1)(2a+3b-c)-(3a-2b+c)=2a-3a+3b+2b-c-c=-a+5b-2c.(2)因为(x-a)-(b-x)=x-(a+b),所以2x-a-b=x-a-b,即:x=0.答案:(1)-a+5b-2c(2)0类型三 向量共线的判定与应用(逻辑推理)角度1 证明(判断)三点共线 【典例】已知非零向量e1,e2不共线.如果 =e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求
7、证A,B,D三点共线.【思路导引】欲证A,B,D共线,只需证存在实数,使 即可.【证明】因为 =e1+e2,=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5 .所以 共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.ABBCCDBDABABBD BC CDABAB,BD 角度2 由向量共线求参数值 【典例】已知非零向量e1,e2不共线.欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.【思路导引】假设共线,根据向量相等解方程.【解题策略】1.向量共线与三点共线的判断与证明(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表 示,从而判断共线.(2)利用平面向量判定三点共
8、线往往有以下两种方法:A,B,C三点共线 O为平面上任一点,A,B,C三点共线 ,且+=1.ABAC.OAOBOC 2.用向量共线的条件求参数的方法(1)三点A,B,C共线问题:利用 构造方程求参数.(2)已知向量ma+nb与ka+pb(a与b不共线)共线求参数值的步骤 设:ma+nb=(ka+pb);整:整理得(m-k)a=(p-n)b,故 解:解方程组得参数值.ABAC mk,np.【题组训练】1.设a与b是两个不共线向量,且向量a+b与a-2b共线,则 为()A.0 B.-2 C.2 D.1【解析】选B.因为两向量共线,则 解得=-2.1,12 2.已知O为ABC内一点,且 若B,O,D
9、三点共线,则t的 值为()【解析】选B.设线段BC的中点为M,则 因为 所以 则 由B,O,D三点共线,得 解得t=.1AOOBOC,ADtAC,21112A.B.C.D.4323OBOC2OM,2AOOBOC,AOOM,111111AOAM ABAC (ABAD)ABAD,244t44t111,44t133.若A,B,C三点共线,O是这条直线外的一点,且满足 则m的值 为_.【解析】因为 所以 因为A,B,C三点共线,所以-m+2=1,解得m=1.答案:1 mOA 2OBOC,0mOA 2OBOC,0OCmOA2OB,【补偿训练】设两个非零向量e1,e2不共线,已知 =2e1+ke2,=e1
10、+3e2,=2e1-e2.问:是否存在实数k,使得A,B,D三点共线,若存在,求出k的值;若不存在,说明理 由.【解析】设存在kR,使得A,B,D三点共线,因为 =(e1+3e2)-(2e1-e2)=-e1+4e2,=2e1+ke2.又因为A,B,D三点共线,所以 所以2e1+ke2=(-e1+4e2),所以 所以k=-8,所以存在k=-8,使得A,B,D三点共线.ABCBCDDB CB CDABABDB,2,k4,备选类型 三角形的“心”的向量表示【典例】(2020吉林高一检测)已知O,N在ABC所在平面内,且 则点O,N依次是ABC的()A.重心,垂心 B.重心,内心 C.外心,重心 D.
11、外心,垂心|OA|OB|OC|,NANBNC,0【思路导引】由 可较易判断出O为ABC的外心;将 进行化简,例如取AB的中点为E,可得 从而可判断出N为ABC的重 心.OAOBOCNANBNC 0CN2 NE,【解题策略】三角形“心”的判断 三角形中的“心”的区别:内心:三角形内角平分线的交点;外心:三角形三边的垂直平分线的交点;重心:三角形中线的交点;垂心:三角形高的交点.【跟踪训练】(2020贺州高一检测)已知点O是ABC所在平面内的一定点,P是平面ABC内一 动点,若 (0,+)则点P的轨迹一定经过ABC的()A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 1OPOA(ABBC),2 课堂检测素
12、养达标 1.下列计算正确的个数是()(-3)2a=-6a;2(a+b)-(2b-a)=3a;(a+2b)-(2b+2a)=0.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.因为(-3)2a=-6a故正确;中左=2a+2b-2b+a=3a成立,故正确;中左=a+2b-2b-2a0,故错误.2.等于()A.a-b+2c B.5a-b+2cC.a+b+2c D.5a+b【解析】选A.=(3a-2a)+(c+c)=a-b+2c.13(3)(2)24 abcabc1414545413(3)(2)24 abcabc13()24bb143.(教材二次开发:例题改编)已知a,b是两个不共线向量,设 =a,=b,=2a+b,若A,B,C三点共线,则实数 的值等于()A.1 B.2 C.-1 D.-2【解析】选C.=-a+b,=a+b=-1.OAOBABOB OAACOC OAOC4.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,证明:直线ADBC.【证明】因为 =(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b)=2 ,所以 共线.又AD与BC不重合,所以直线ADBC.ABBCCDAD AC CD AB BC CDBCADBC与