1、2015-2016学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.1命题“若x1，则x21”的否命题为2抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是3在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，则公比为4不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1或x3，则不等式cx2bx+a0的解集为5若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为6椭圆C： +=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，则+的最小值为7等差数列an，bn的前n项和为Sn，Tn且=，则=8已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为2xy=0，则该双曲线的离心率为93m9是方程
2、+=1表示的椭圆的条件（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）10已知x（1，5），则函数y=+的最小值为11若关于x的不等式ax22x2a0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为12设Sn为数列an的前n项之和，若不等式n2an2+4Sn2n2a12对任何等差数列an及任何正整数n恒成立，则的最大值为13如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MFOA，则椭圆的离心率为14已知数列an，bn满足a1=，an+bn=1，bn+1=（nN*），则b2015=二、解答
3、题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知：命题p：xR，x2+ax+10，命题q：x2，0，x2x+a=0，若命题p与命题q一真一假，求实数a的取值范围16已知椭圆M的对称轴为坐标轴，抛物线y2=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，且椭圆M的离心率为（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A，B两点，且椭圆M上存在点P，满足=+，求m的值17已知等差数列an中，a3=5，a6=11，数列bn前n项和为Sn，且Sn=bn（1）求an和bn；（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn18如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面
4、2米观察者从距离墙x（x1）米，离地面高a（1a2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB=（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若tan=，当a变化时，求x的取值范围19椭圆C： +=1（ab0）（1）若椭圆C过点（3，0）和（2，）求椭圆C的方程；若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值20已知数列an的各项均为整数，其前n项和为Sn规定：若数列an满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列an为“r关联数列
5、”（1）若数列an为“6关联数列”，求数列an的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意nN*，anSna6S6；（3）已知数列an为“r关联数列”，且a1=10，是否存在正整数k，m（mk），使得a1+a2+ak1+ak=a1+a2+am1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由2015-2016学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.1命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”【考点】四种命题【专题】简易逻辑【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案【解答】解：命
6、题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，故答案为：“若x1，则x21”【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题2抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=1，焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用属基础题3在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，则公比为4【考点】等比数列的性质【专题】计算题；等差
7、数列与等比数列【分析】利用在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，可得q4=256且q0，即可求出公比【解答】解：在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，设公比为q，则q4=256且q0，解得：q=4，故答案为：4【点评】本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的通项公式，属基础题4不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1或x3，则不等式cx2bx+a0的解集为（1，）【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用【分析】由于不ax2+bx+c0的解集为x|x1或x3，可得：1，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，利用根与系数的关系
8、可把不等式cx2bx+a0化为二次不等式即可解出【解答】解：由题意得：a0， =1+3=4， =13=3，即b=4a，c=3a，故不等式cx2bx+a0可化为：3x2+4x+10，化简得（3x+1）（x+1）0，解得：1x所求不等式的解集为（1，），故答案为：（1，）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题5若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为6【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得
9、答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A（4，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为242=6故答案为：6【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6椭圆C： +=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，则+的最小值为【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由+=，MF1MF2的最大值为a2=25，能求出+的最小值【解答】解：椭圆C： +=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，+=，MF1MF2的最大
10、值为a2=25，+的最小值dmin=故答案为：【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用7等差数列an，bn的前n项和为Sn，Tn且=，则=【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】利用=，即可得出【解答】解： =故答案为：【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为2xy=0，则该双曲线的离心率为或【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】当双曲线焦点在x轴上时，可设标准方程为（a0，b0），
11、此时渐近线方程是，与已知条件中的渐近线方程比较可得b=2a，最后用平方关系可得c=a，用公式可得离心率e=；当双曲线焦点在y轴上时，用类似的方法可得双曲线的离心率为由此可得正确答案【解答】解：（1）当双曲线焦点在x轴上时，设它的标准方程为（a0，b0）双曲线的一条渐近线方程是2xy=0，双曲线渐近线方程是，即y=2xb=2ac2=a2+b2=a所以双曲线的离心率为e=（2）当双曲线焦点在y轴上时，设它的标准方程为（a0，b0）采用类似（1）的方法，可得=所以双曲线的离心率为e=综上所述，该双曲线的离心率为或故答案为：或【点评】本题用比较系数法求双曲线的离心率的值，着重考查了双曲线的渐近线和平方
12、关系等基本概念和双曲线的简单性质，属于基础题93m9是方程+=1表示的椭圆的必要不充分条件（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）【考点】椭圆的标准方程【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑【分析】根据椭圆的标准方程，先看由3m9能否得出方程表示椭圆，而方程表示椭圆时，再看能否得出3m9，这样由充分条件和必要条件的定义即可判断3m9是方程表示椭圆的什么条件【解答】解：（1）若3m9，则m30，9m0；m3（9m）=2m12，3m9；m=6时，m3=9m；此时方程表示圆，不表示椭圆；3m9得不到方程表示椭圆；即3m9不是方程
13、表示椭圆的充分条件；（2）若方程表示椭圆，则；3m9，且m6；即方程表示椭圆可得到3m9；3m9是方程表示椭圆的必要条件；综上得，3m9是方程表示椭圆的必要不充分条件故答案为：必要不充分【点评】考查椭圆的标准方程，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念10已知x（1，5），则函数y=+的最小值为【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】综合题；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=+=，由f（x）=0得x218x+49=0得x=94，x（1，5），x=94，当1x
14、94时，f（x）0，函数单调递减，当94x5时，f（x）0，函数单调递增，故当x=94时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，此时f（94）=+=+=+=+=+=+=，故答案为：【点评】本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力11若关于x的不等式ax22x2a0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为，1）【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】由题意得到a0，解出二次不等式，根据解的区间端点范围可得a的范围【解答】解：关于x的不等式ax22x2a0的解集中仅有4个整
15、数解，解得a0，解不等式得1x，要使不等式的解集中仅有4个整数解，34，解得a1，故答案为：，1）【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属中档题12设Sn为数列an的前n项之和，若不等式n2an2+4Sn2n2a12对任何等差数列an及任何正整数n恒成立，则的最大值为【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】由于不等式n2an2+4Sn2n2a12对任何等差数列an及任何正整数n恒成立，利用等差数列的前n项和公式可得+，当a10时，化为，利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：不等式n2an2+4Sn2n2a12对任何等差数列an及任何正整数n恒成立，+，
16、当a10时，化为+1=，当=时，上式等号成立故答案为：【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题13如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MFOA，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为+=1（ab0），求得C和M的坐标，运用O，C，M共线，即有kOC=kOM，再由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：设A（a，0），B（0，b），F（c，
17、0），椭圆方程为+=1（ab0），令x=c，可得y=b=，即有M（c，），由C是AB的三等分点（靠近点B），可得C（，），即（，），由O，C，M共线，可得kOC=kOM，即为=，即有b=2c，a=c，则e=故答案为：【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的有关知识，考查运算能力，属于中档题14已知数列an，bn满足a1=，an+bn=1，bn+1=（nN*），则b2015=【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知条件推导出bn+1=，b1=，从而得到数列是以2为首项，1为公差的等差数列，由此能求出b2015【解答】解：an+bn=1，且bn
18、+1=，bn+1=，a1=，且a1+b1=1，b1=，bn+1=，=1，又b1=， =2数列是以2为首项，1为公差的等差数列，=n1，bn=则b2015=故答案为：【点评】本题考查数列的第2015项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知：命题p：xR，x2+ax+10，命题q：x2，0，x2x+a=0，若命题p与命题q一真一假，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】对于命题p：xR，x2+ax+20，可得0，解得a范围命题q：x2，0，
19、x2x+a=0，即a=xx2，利用二次函数的单调性即可得出a的取值范围再利用命题p与命题q一真一假，即可得出【解答】解：对于命题p：xR，x2+ax+20，=a240，解得2a2命题q：x2，0，x2x+a=0，即a=xx2=6，0若命题p与命题q一真一假，则，或，解得6a2，或0a2实数a的取值范围是6，2）（0，2【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16已知椭圆M的对称轴为坐标轴，抛物线y2=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，且椭圆M的离心率为（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线y=x+m与椭圆M
20、交于A，B两点，且椭圆M上存在点P，满足=+，求m的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由已知椭圆M的一个焦点F（1，0），e=，由此能求出椭圆M的方程（2）联立，得3x2+4mx+2m22=0，由此利用韦达定理、向量、椭圆性质能求出m的值【解答】解：（1）椭圆M的对称轴为坐标轴，抛物线y2=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，且椭圆M的离心率为，椭圆M的一个焦点F（1，0），设椭圆方程为=1（ab0），e=，b=c=1，a=，椭圆M的方程为： =1（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得3x2+4
21、mx+2m22=0，=（4m）212（2m22）=8m2+240，解得，=，P（x1+x2，y1+y2），P（）在椭圆=1上，（）2+2（）2=2，解得m=【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、向量知识、直线方程、抛物线等知识点的合理运用17已知等差数列an中，a3=5，a6=11，数列bn前n项和为Sn，且Sn=bn（1）求an和bn；（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）利用d=及an=a3+（n3）d计算即得等差
22、数列an的通项公式；当n2时利用bn=SnSn1化简整理可知bn=3bn1，进而可知数列bn是首项、公比均为3的等差数列，计算即得数列bn的通项公式；（2）通过（1）可知cn=（2n1）3n，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则d=2，an=a3+（n3）d=2n1；Sn=bn，当n2时，bn=SnSn1=（bn）（bn1）=（bnbn1），整理得：bn=3bn1，又b1=b1，即b1=3，数列bn是首项、公比均为3的等差数列，于是bn=33n1=3n；（2）由（1）可知an=2n1、bn=3n，则cn=anbn=（2n1）3n，Tn=13+332+53
23、3+（2n1）3n，3Tn=132+333+534+（2n3）3n+（2n1）3n+1，两式相减得：2Tn=3+2（32+33+34+3n）（2n1）3n+1=3+（2n1）3n+1=6（2n2）3n+1，Tn=3+（n1）3n+1【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题18如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米观察者从距离墙x（x1）米，离地面高a（1a2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB=（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若tan=，当a变化时，求x的取值范围【考点】解三角形的实际应用【专题】解三角
24、形【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围【解答】解：（1）如图，作CDAF于D，则CD=EF，设ACD=，BCD=，CD=x，则=，在RtACD和RtBCD中，tan=，tan=，则tan=tan（）=（x0），令u=，则ux22x+1.25u=0，上述方程有大于0的实数根，0，即441.25u20，u，即（tan）max=，正切函数y=tanx在（0，）上是增函数，视角同时取得最大值，此时，x=，观察者离墙米远时，视角最大；（2）由（1）可知，tan=，即x24x+4=a2
25、+6a4，（x2）2=（a3）2+5，1a2，1（x2）24，化简得：0x1或3x4，又x1，3x4【点评】本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值，注意解题方法的积累，属于中档题19椭圆C： +=1（ab0）（1）若椭圆C过点（3，0）和（2，）求椭圆C的方程；若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值【考点】椭圆的简单性质【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由椭圆过两点，利用待定系数法能求出椭圆C的方程由题意得PD、MD的斜
26、率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx1，与椭圆方程联立求出P点坐标，用代k，得M点坐标，由此能求出直线PM，从而能证明直线PM经过定点T（0，）（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，由此利用换元法及基本不等式性质能求出椭圆C的中心到右准线的距离的最小值【解答】解：（1）椭圆C： +=1（ab0）过点（3，0）和（2，），解得a=3，b=1，椭圆C的方程为证明：由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx1，由，得P（，），用代k，得M（，），=，直线PM：y=，即y=，直线PM经过定点T（0，）解：（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，由=1，
27、得，=，令t=a25，t0，则=t+92+9=4+9，当且仅当t=2，时，等号成立，椭圆C的中心到右准线的距离的最小值为【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查椭圆中心到右准线的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、均值定理的合理运用20已知数列an的各项均为整数，其前n项和为Sn规定：若数列an满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列an为“r关联数列”（1）若数列an为“6关联数列”，求数列an的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意nN*，anSna6S6；（3）已知数列an为“r
28、关联数列”，且a1=10，是否存在正整数k，m（mk），使得a1+a2+ak1+ak=a1+a2+am1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由【考点】数列的应用【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）若数列an为“6关联数列”，an前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，可得a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1，即可求数列an的通项公式；（2）由（1）得（或，可见数列anSn的最小项为a6S6=6，即可证明：对任意nN*，anSna6S6；（3），分类讨论，求出所有的k，m值【解答】解：（1）数列an为“6关联数列”，an前6项为等差数列
29、，从第5项起为等比数列，a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1=3（或） （2）由（1）得（或），Sn：3，5，6，6，5，3，1，9，25，anSn：9，10，6，0，5，6，4，72，400，可见数列anSn的最小项为a6S6=6，证明：，列举法知当n5时，（anSn）min=a5S5=5； 当n6时，设t=2n5，则 （3）数列an为“r关联数列”，且a1=10，当km12时，由得（k+m）（km）=21（km）k+m=21，k，m12，mk，或当mk12时，由2k1156=2m1156得m=k，不存在 当k12，m12时，由，2m10=k221k+112当k=1时，2m10=92，mN*；当k=2时，2m10=74，mN*；当k=3时，2m10=58，mN*；当k=4时，2m10=44，mN*；当k=5时，2m10=25，m=15N*；当k=6时，2m10=22，mN*；当k=7时，2m10=14，mN*；当k=8时，2m10=23，m=13N*；当k=9时，2m10=22，m=12舍去；当k=10时，2m10=2，m=11舍去当k=11时，2m10=2，m=11舍去；当k=12时，2m10=22，m=12舍去综上所述，存在或或或 【点评】本题考查数列的应用，考查新定义，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，难度大