1、练案59第二课时最值、范围、证明问题A组基础巩固一、单选题1(2019北京模拟)已知双曲线1(a0，b0)，离心率e，2，则两条渐近线的夹角的取值范围是(B)A，B，C，D，解析由e2，得2，2，1，故两条渐近线的夹角的取值范围为，2设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是(D)A5BC7D6解析设Q点坐标为(m，n)(1n1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|，因为n21，联立，|QC|，因为1n1，故当n时，|QC|有最大值，最大值为5，所以|PQ|max|QC|max6.3(2019深圳模拟)M是抛物线y2x上的一点，N是圆(x1)2(y4)21关于
2、直线xy10的对称圆C上的一点，则|MN|的最小值是(A)A1B1C.1D1解析如图所示，设(1,4)关于xy10的对称点是P(x0，y0)，则解得故C的方程是(x3)2y21.设M(x，y)，则|MP|2(x3)2y2x25x9(x)2，|MP|的最小值为，|MN|的最小值为1.4过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|BF|的最小值是(C)A2BC4D2解析，即1，|AF|BF|4，(当且仅当|AF|BF|时取等号)故选C.5(2020绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则的最大值为(B)AB6C8D12解析设P(
3、x，y)，则x2y2xx2x3(x2)22，(2x2)，显然当x2时，取得最大值6，故选B.二、多选题6(2020皖西南期末改编)若椭圆C：1(ab0)上存在一点P，使得|PF1|8|PF2|，其中F1，F2分别是C的左右焦点，则C的离心率的值可能是(BCD)ABCD解析由|PF1|PF2|2a，且|PF1|8|PF2|知|PF2|，acac，e，即e，1)，故选BCD.7已知抛物线E：y24x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|3|BF|，M为AB的中点，则下列结论正确的是(AC)ACFD90BCMD为等腰直角三角形C直线AB的斜率为
4、DAOB的面积为4解析不妨设A在第一象限，如图作BHAC于H，记|BF|a，则|AH|2a，|AB|4a，HAB60，kAB.(同理当A在第四象限时kAB)，C正确；又AB：y(x1)，由得A(3,2)，B(，)，SAOB|OF|yAyB|，D错；又(2，2)(2，)0，即CFD90，A正确；又M(，)，(，)(，)0，即与不垂直，B错故选AC.三、填空题8(2020甘肃诊断)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x4y250上存在点M，使得AMB90，则实数p的取值范围是_10，)_.解析由题意可知以O为圆心，为半径的圆与直线有公共点，即5，p10.
5、9(2019河南安阳)双曲线C：1(a0，b0)与椭圆1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为_4_.解析因为椭圆1的两焦点坐标分别为(1，0)，(1,0)，离心率为，故双曲线C的离心率为2，c1，从而a，|PF2|，所以|PF2|4a|PF2|2224(当且仅当|PF2|1时，等号成立)10(2019福建模拟)已知等腰梯形ABCD中，ABCD，AB2CD4，BAD60，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是1，).解析以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系
6、，则B(2,0)，C(1，)，双曲线方程为1(0a2)，c2，双曲线与线段CD有交点，则x2a2(1)1，又0a2，解得00得3k2m210.设M(x1，y1)，N(x2，y2)的中点为Q(x0，y0)，则x1x2，所以x0，y0，|AM|AN|等价于AQ垂直平分MN，kAQk1，即k1，化简得2m3k211，解得m.由解得0m2.综上可得m的取值范围是(，2)B组能力提升1(2019桂林模拟)若点P在椭圆7x24y228上，则点P到直线3x2y160的距离的最大值为(C)ABCD解析将椭圆方程7x24y228化为1.设椭圆上点P的坐标为P(2cos，sin)、则点P到直线3x2y160的距离
7、d，dmax.故选C.2已知P为椭圆1上一个动点，过点P作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别是A，B，则的取值范围为(C)A，)B，C23，D23，)解析记圆心为F(1,0)，APB2，则有|PA|2cos2|PA|2(12sin2)(|PF|21)(1)|PF|23，其中|PF|(1,3记f(x)x3，x|PF|2(1,9，则f(x)1，当1x时，f(x)0，f(x)在区间(1，)上单调递减；当0，f(x)在区间(，9上单调递增因此，函数f(x)的值域是23，即的取值范围为23，选C.3(2020河北联考)如图，由抛物线y28x与圆E：(x2)2y29的实线部分构成图形，过点P(2,0)
8、的直线始终与图形中的抛物线部分及圆部分有交点A、B，则|AB|的取值范围为(D)A2,3B3,4C4,5D5,6解析由题意可知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，圆(x2)2y29的圆心为E(2,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|3.设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|x02，由得(x2)28x9，整理得x24x50，解得x11，x25(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xCxD1，因此0x01，又|AB|AP|BP|3x02x05，所以|AB|x055,6，故选D.4(2019北京卷)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)(1)求椭圆
9、C的方程；(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点解析(1)由题意得，b21，c1.所以a2b2c22.所以椭圆C的方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为yx1.令y0，得点M的横坐标xM.又y1kx1t，从而|OM|xM|.同理，|ON|.由得(12k2)x24ktx2t220.则x1x2，x1x2.所以|OM|ON|2.又|OM|ON|2，所以22.解得t0，所以直线l经过定点(0,0)5(2020河北衡中联考)在平面直角坐标系xOy
10、中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点(1,0)且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当OPB最大时，求直线l的方程解析(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：yk(x1)(k0)联立得方程组消去y，得(9k21)x218k2x9k290，故x1x2.设P(x0，y0)，则x0，y0k(x01)k(1)，所以直线OP的斜率kOP.设直线l，OP的倾斜角分别为，则OPB，tanOPBtan()(k)因为k0，所以(k)(k)2，即k，所以tanOPB，当且仅当k时，等号成立，所以当OPB最大时，直线l的斜率k，此时直线l的方程为x3y10.