1、2 从位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法 必备知识自主学习 导思 1.如何进行向量求和?2.多个向量如何利用三角形法则求和?1.向量的加法(1)定义:求两个向量和的运算,叫作向量的加法.(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则 三角形法则 平行四边形法则 作图 已知向量a,b,在平面上任取 一点A,作 =a,=b,则向 量 叫作a与b的和,记作a+b.已知向量a,b,作 =a,=b,以AB,AD为邻边作平行四边形 ABCD,则向量 叫作a与b的和,表示为a+b=.ABBCABADACACAC三角形法则 平行四边形法则 几何 意义 从第一个向量的_到第二 个向量的_的向量 平行四边形_
2、 所在的向量 区 别 特 点“首尾相接”“共起点”适用 范围 任意两个非零向量 不共线的两个向量 联系(1)当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.起点 终点 对角线 【思考】在利用三角形法则和平行四边形法则时应注意什么?提示:应用这两个法则时一看这两个向量是否共线,二看这两个向量是“首尾相接”还是“共起点”.2.向量加法的运算律(1)交换律:a+b=_.(2)结合律:(a+b)+c=_.b+aa+(b+c)【思考】如何进行多个向量的求和?提示:(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接,再运用向量加法的结合
3、律调 整向量顺序后相加.(2)向量求和的多边形法则:.特别地,当An和A1重 合时,=0.122334n 1n1nA AA AA AAAA A122334n 11A AA AA AAA【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)0+a=a+0=a.()(2).()(3)|+|=|.()提示:(1).根据运算律知,(1)显然正确.(2).向量不能比较大小,故错误.(3).当A,B,C三点不共线时,两边之和大于第三边,显然不成立.ABBCACABBCAC2.已知正方形ABCD的边长为1,=c,则 等于()A.B.C.2 D.3【解析】选C.如图,因为正方形ABCD的边长为1,=c,则
4、,因为 ,所以 =2 .AB,BC,ACab|abcAB,BC,ACab|ABBCAC|2|AC|abc|AB|BC|1,ABBC|abc22323.(教材二次开发:习题改编)如图,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则 下列等式中错误的是()A.FD DA DEB.AD BE CFC.FD DE AD AB D.AD EC FD BD0 0关键能力合作学习 类型一 向量的加法法则(直观想象)【题组训练】1.(1)如图所示,求作向量和a+b;(2)如图所示,求作向量和a+b+c.2.如图所示,在四边形ABCD中,则四边形为()A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 ACA
5、BAD3.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,指出与下列向量相等的向量:1 OAOC.2 BCFE.3 OAFE.【解题策略】向量加法的三角形法则与平行四边形法则求解步骤 (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 【补偿训练】(2020上饶高一检测)如图所示,若P为ABC的外心,且 ,则 ACB=_.PAPBPC类型二 向量加法运算律的应用(逻辑推理)【典例】(2020西安高一检测)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,O为任 意一点(且不与M重合),则 等于()【思路导引】因为此题为单选题,故可考虑用特殊值法去做,因为O为任意一点,不妨把O看成是特
6、殊点,再代入 ,计算即可得解.OAOBOCODA.OM B.2OM C.3OM D.4OMOAOBOCOD 【解题策略】向量加法的运算技巧(1)由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.【跟踪训练】(2020合肥高一检测)如图,在ABC中,CD是AB边上的中线,点P是CD的中点,则()1111A.APABAC B.APABAC42241111C.APABAC D.APABAC3223类型三 平面向量的实际应用(数学建模)【典例】在静水中船的速度
7、为20 m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,请确定船行进的方向.【思路导引】结合向量加法的平行四边形法则求解.【解题策略】1.向量的加法在物理学中应用较为广泛,如力的合成、速度的合成等,解决这类问题的关键是结合图形,利用平行四边形法则或三角形法则解决.2.实际问题的向量解法的步骤 把实际问题转化为向量问题解决向量问题把向量问题转化为实际问题.【跟踪训练】在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.课堂检测素
8、养达标 1.若向量a表示向东走1 km,向量b表示向南走1 km,则向量a+b表示()A.向东南走 km B.向东南走2 km C.向东北走 km D.向东北走2 km【解析】选A.由向量加法的平行四边形法则可知,a+b表示向东南走 km.2222.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是()【解析】选C.借助图形易知C正确.A.ABCD,BCAD B.ADODDAC.AOODACCD D.ABBCCDDA3.(教材二次开发:习题改编)(2020哈尔滨高一检测)在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是()A.ABCDB.ADABACC.ADBDAB D.ADCB0 04.根据图示填空,其中a=(1)a+b+c=_.(2)b+d+c=_.【解析】(1)a+b+c=(2)b+d+c=答案:(1)DC,CO,OB,BA.bcdDC CO OB DB.CO BA OB CA.DB 2 CA5.如图,P,Q是三角形ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:【证明】由题图可知 所以 因为 大小相等,方向相反,所以 故 ABAPPB,ACAQQC,ABACAPPBAQQC,PBQC与PBQC.0ABACAPAQAPAQ.0ABACAPAQ.