1、数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.全集，集合，集合，图中阴影部分所表示的集合为( )A. B. C. D. 2.欧拉公式把自然对数的底数,虚数单位,三角函数和联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”若复数满足,则( )A.1B.C.D.3.聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，3 ，4 ，5 ，则按照以上规律，若9 具有“穿墙术”，则n()A25 B48 C63 D804.具有线性相关关系的变量
2、，满足一组数据如表所示，若与的回归直线方程为，则的值是（ ）0123-118 A4.5 B.2.5 C.3.5 D.45. 用数学归纳法证明 时 ，从 到 ，不等式左边需添加的项是（ ） A. B.C. D. 6.以下四个命题中是真命题的是( )A.对分类变量x与y的随机变量观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大B.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C.若数据的方差为1，则的方差为2D.在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好7.设，则二项式展开式的所有项系数和为（ ） A.1B.32 C.243D.10248.某专家团
3、由4 名硕士和3 名博士组成，今从中抽取3人到某地各进行一场报告，至少 有 1 名 博士和1 名硕士参加，且 2 名博士或2 名硕士的报告不能相邻，则不同的报告顺序的种数为( )A.60 B.30 C.45 D.729.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数（例如：若，则），其中二进制数的各位数中，已知出现0的概率为，出现1的概率为，记，现在仪器启动一次，则（ ）A. B. C. D.10. 设,随机变量的分布列是012则当在内增大时( )A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小11.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方
4、体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为()A. B. C. D.12. 2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控力最大，武汉市从2月日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一
5、进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（ ）ABCD二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是_.（结果用数字作答）14. 用反证法证明“若，则或”时，应假设_15若随机变量服从正态分布，则_.参考数据：若，则， ，.16.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： 从中任取3球，恰有一个白球的概率是；从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；现从中
6、不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为；从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是_三、解答题：共70分。17.（10分）已知展开式前三项的二项式系数和为22（1）求的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项18.（12分）为了解某地区某种农产品的年产量 (单位:吨)对价格 (单位:千元/吨)和利润的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表:123457.06.55.53.82.2（1）求关于的线性回归方程;（2）若每吨该农产品的成本为2千元,假设该农产品可全部卖出,预
7、测当年产量为多少时,年利润取到最大值?(结果保留两位小数)参考公式: . 参考数据: .19.（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，为该曲线上的任意一点.（1）当时，求点的极坐标.（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值.20.（12分）随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况
8、，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差（下面的
9、临界值表供参考）0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635（参考公式 （小数点后保留三位）， 其中）21（12分）已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)，且直线l交曲线C于A，B两点(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并求时，的值；(2)已知点P(1,0)，求当直线l的倾斜角变化时，的取值范围22.（12分）某企业生产一种液体化工产品，其年产量受气温影响，该液体化工产品中含有制造高精端仪器所需的稀有金属，且提取该稀有金属后，不影响液体化工产品的销售和用途.根据以往市场经验，制造的该液体化工产品和提取的稀有金属都能完
10、全销售.在此之前，该企业无稀有金属提取设备，经企业研究决定安装，但由于条件限制，最多能安装6台.根据最近20年统计的生产资料数据，每年至少生产该液体化工产品40吨，且得到液体化工产品年产量X的数据如下表：液体化工产品年产量X（吨）年数31862（1）对于液体化工产品，如果年产量不低于100吨，则称该年度为“优质年”，每位职工发放一等年终奖金；如果年产量不足100吨，则称该年度为“均衡年”，每位职工发放二等年终奖金.其中一名工人在统计的20年中有5年在该企业工作，问该工人恰有三年得到一等年终奖金的概率是多少？（最后结果保留分数形式）（2）若液体化工产品年产量相互独立，且把液体化工产品年产量X在相
11、应段的频率作为概率.（i）试求未来3年中，至少有一年液体化工产品年产量不低于100吨的概率；（最后结果保留分数形式）（ii）企业希望安装的稀有金属提取设备尽可能多地运行，但每年稀有金属提取设备运行的台数受液体化工产品年产量X的限制，并有如下关系：液体化工产品年产量X（吨）提取设备最多可运行台数3456对于每台提取设备，若正常运行，则可获年利润约50万元，否则年亏损10万元.问应安装多少台稀有金属提取设备，可使该企业在稀有金属提取项目中获得最大总利润？并说明理由.理科数学答案1C2. B3. D4. D5. B 6. D 7. C 8. A9. B10. D11.D12. A13 144 14.
12、 x1且x1 15. 0.84 16. .17.（10分）答案：1.二项式定理展开：前三项二项式系数为：，解得：或(舍去)即n的值为6（4分）2.由通项公式，令，可得：展开式中的常数项为；(8分)3.是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为(10分)18.答案：1. ,（2分）.所以,（5分）（7分）所以所求的回归直线方程为.（8分）2.年利润（10分）所以 时,年利润最大.（12分）19 .（12分）.答案：（1）设点在极坐标系中的坐标，由，得或，（4分）所以点的极坐标为或（6分）（2）由题意可设.（7分）由，得.（8分）（10分）故时，的最大值为.（12分）20.解：
13、（1）由列联表数据计算K2=2.0202.072，（4分）不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民网购情况与性别有关（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5=3人，偶尔或从不进行网购的有5=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=（8分）（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为XB（10，），（10分）E（X）=，D（X）=（12分）21（12分）解：(1)曲线C的普通方程为y21.当时，直线l的参数方程为(t为参数)，（2分）将l的参数方程代入y21
14、，得5t22t40，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2，（4分）所以|AB|t1t2|.（6分）(2)将直线l的参数方程代入y21，得(12sin2)t22tcos 20，（8分）设A，B对应的参数分别为t3，t4，则t3t4，则|PA|PB|t3t4.（10分）又0sin21，所以|PA|PB|2，所以|PA|PB|的取值范围是.（12分）22.（12分） 答案：（1）由题意知，该工人得到一等年终奖金的年数服从超几何分布，所求概率，所以该工人恰有三年获得一等年终奖金的概率为.（2分）（2） （i）所以年产量不低于100吨的概率为，低于100吨的概率为，记未来3年中该液体
15、化工产品年产量不低于100吨的年数为Y，则，所以在未来3年中至少有一年年产量不低于100吨的概率.（4分）（ii）记该企业在稀有金属提取项目中所得总利润为（单位：万元）.由题意得，要使获得利润尽量大，应至少安装3台提取设备，若安装3台提取设备，则在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.（5分）若安装4台提取设备，液体化工产品年产量的概率为，此时可运行3台设备，1台不运行，利润为：140万元液体化工产品年产量的概率为，此时可运行4台，利润为：200万元所以离散型随机变量的分布列为（单位：万元）140200P此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.（7分）若安装5台提取设备，同理可得离散型随机变量的分布列为（单位：万元）130190250P此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.（9分）若安装6台提取设备，同理可得离散型随机变量的分布列为（单位：万元）120180240300P此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.（11分）综上，当安装5台提取设备时，稀有金属提取项目所获总利润为205万元，大于其他情况，所以安装5台稀有金属提取设备能获得该项目的最大总利润.（12分）
