1、洮南一中高二第一次月考数学（理）试卷 命题教师：第I卷（选择题）一、单选题1已知是虚数单位，复数满足，则（ ）ABCD2已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）ABCD3执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合，则集合中元素的个数为（ ）A3B4C5D64甲、乙、丙做同一道题，仅有一人做对.甲说：“我做错了.”乙说：“甲做对了.”丙说：“我做错了.”如果三人中只有一人说的是真的，以下判断正确的是（ ）A甲做对了B乙做对了C丙做对了D以上说法均不对5在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则向量对应的复数为（）A B C D6 有一段演绎推理是这样的
2、：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，则直线直线a”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误7宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大家”，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱世杰平生勤力研习九章算术，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的算学启蒙，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半
3、，竹日自倍，松竹何日而长等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的分别为，则输出的（ ）A2B3C4D58若，则的解集为ABCD9. 如图是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）ABCD10观察下列各式：，据此规律.所得的结果都是的倍数.由此推测可得（ ）A其中包含等式：B其中包含等式：C其中包含等式：D其中包含等式：11已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）ABCD12已知函数，若的解集为，且中只有两个整数，则（ ）A最大值为B的最小值为C的最大值为D的最小值为第II卷（非选择题）二、填空题13阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的的值为3，则输出的的值是_.14设为
4、虚数单位，则的虚部为_15在数学归纳法的递推性证明中，由假设成立推导成立时，增加的项的个数是_（用表示）16已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是_三、解答题17当实数为何值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？18已知函数为一次函数，若函数的图象过点，且.（1）求函数的表达式.（2）若函数，求函数与的图象围成图形的面积.19已知正数a，b，c，求证：，这三个数中，至少有一个不小于4.20已知函数，且.（1）求的值； （2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.21已知.（1）求出，的值；（2）归纳的值，并用数学归纳法加以证明.22已知函数为常数）（1）若曲线在
5、处的切线方程为，求，的值；（2）讨论函数的单调性；（3）当，时，求证：参考答案1D2D 3B4C5D6A7C8C9C10A11B12D【答案】D【分析】原不等式化为，设，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可.【详解】由，得，设，所以在的上单调递增，在单调递减，而的图象是一条恒过点的直线，函数与的图象如图所示，依题意得，若中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，则，即，解得，故的最小值为，故选：D.【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值
6、范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质132141516【答案】【分析】构造函数，由导数确定单调性后，利用单调性解函数不等式【详解】设，则 ，因为，所以 ，在上单调递减，即，令 ，即， ，所以，所以 故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是构造新函数，利用导数确实单调性，已知不等式转化为关于 的函数不等式，然后求解 17（【答案】（1）；（2）且；（3）或.【分析】（1）根据是实数，可得出复数的虚部为零，分母不为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的值；（2）根据是虚数，可得出复数的虚部不为零，实部为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的取值范围；（3）根
7、据是纯虚数，可得出复数的实部为零，虚部不为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的值.【详解】（1）因为是实数，则，解得；（2）因为是虚数，则，解得且；（3）因为是纯虚数，则，解得或.18【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设一次函数的解析式，由及微积分定理可得，解得的值，进而求出函数的解析式；（2）由面积和微积分的关系求出与的图象围成图形的面积的表达式，进而求出其面积【详解】解：（1）为一次函数且过点，可设，解得,.（2）由得：，与围成的图形面积即【点睛】本题考查微积分定理的应用，及曲线围成的面积的运算方法，属于中档题19【答案】证明见解析.【分析】用反证法证明数学命题的方法和步骤，把
8、要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，利用基本不等式，即可得出结论【详解】证明：假设这三个数都小于4，即，所以因为a，b，c均大于0，根据均值不等式有，当且仅当，时，等号成立.这与矛盾，因此假设不成立，从而这三个数中，至少有一个不小于4.【点睛】本题主要考查反证法的应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于中档题20已知函数，且.（1）求的值； （2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值；（2）由函数在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值.【详解】解：（1）因为，
9、所以，因为,所以,解得所以.（2）由（1）可知，则，令，得,和的变化情况如下表：20极小值因为，所以函数在上的最大值为,所以，解得,所以,由上面可知在上单调递增，在上单调递减；又因为，所以函数在上的最小值为.21（1），；（2），证明见解析.【分析】(1)由题意结合所给的条件首先求得的值，然后求解，的值即可；(2)结合(1)中的结果首先猜想的值，然后用数学归纳法加以证明即可.【详解】(1)由题意可得：f(1)=1，.，.(2)由(1)猜想g(n)=n(n2).下面利用数学归纳法证明：当n=2时，猜想成立；假设当时，g(k)=k.即，f(1)+f(2)+f(k1)=kf(k)k，则当n=k+1时
10、，=k+1，因此当n=k+1时，命题g(k+1)=k+1成立.综上可得：，g(n)=n(n2)成立.【点睛】本题主要考查递推关系的应用，归纳推理的应用，数学归纳法的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22【答案】（1），；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）算出曲线在处的切线方程，然后与比较系数即可；（2）分和讨论即可；（3）构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1），（1），（1），曲线在处的切线方程为：，即：，由题意：，；（2），设，当时，在上恒成立；当时，令，即，解得，令，即，解得综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在，上单调递减（3）证明：令，则，令，则，令得： 令得：，在上单调递减，在上单调递增，（1）（1），存在使，且当或时，当，时，在上递增，在，上递减，在上递增，又（1），所以有：，即，【点睛】证明不等式 或转化为证明或，进而构造辅助函数.
