1、3.3.1 利用导数判断函数的单调性课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例1】 求下列函数的单调区间.(1)y=x4-2x2+6;(2)y=-lnx+2x2.思路分析：求出导数y,分别令y0或y0,即4x3-4x0，解得-1x1,所以单调增区间为(-1,0)和(1,+).令y0,解得x-1或0x0，即4x-0，解得-x;令y0,即4x-0，解得x-或0x0,单调增区间为(，+)，单调减区间为(0，).温馨提示在求单调区间时，一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例2】若函数f(x)=+(a-1)x+1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，+)上为增函数，试求实数a的取值范
2、围.解析：函数f(x)的导数f(x)=x2-ax+a-1.令f(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-11,即a2时，函数f(x)在(1，+)上为增函数，不合题意.当a-11,即a2时，函数f(x)在(-，1)上为增函数，在(1，a-1)内为减函数，在(a-1,+)上为增函数.依题意应有当x(1,4)时，f(x)0.所以4a-16,解得5a7.所以a的取值范围是5,7.温馨提示本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.三、运用导数证明不等式【例3】 当x(0,)时，证明tanxx.思路分析：首先构造函数f(x)=tanx-x,然后判断
3、f(x)在(0，)上的单调性.证明：设f(x)=tanx-x,x(0,).f(x)=(f(x)在(0,)上为增函数.又f(x)=tanx-x在x=0处可导且f(0)=0,当x(0,)时，f(x)f(0)恒成立，即tanx-x0，tanxx.温馨提示对于tanx的导数，没有导数公式可用，可先变换成sinx、cosx的导数，然后根据运算法则求导.各个击破类题演练1证明函数f(x)=ex+e-x在0,+)上是增函数.证明：f(x)=(ex)+()=ex+(-)=ex-e-x=,当x0,+)时，ex1,f(x)0.f(x)=ex+e-x在0,+)上为增函数.变式提升1设f(x)=ax3+x恰有三个单调
4、区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.解：f(x)=3ax2+1.若a0,f(x)0对x(-,+)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾，若a=0,f(x)=10,x(-,+)，f(x)也只有一个单调区间，与已知矛盾，若a0,f(x)=3a，此时f(x)恰有三个单调区间；即单调减区间(-,-)、(,+)和单调增区间(-,).因此，a的取值范围是(-,0).类题演练2函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f(x)的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在()A.第象限B.第象限C.第象限D.第象限解：设g=f(x)=kx+b(k0),则y=f(x)=ax2+bx+
5、c;则f(x)=2ax+b,由此可知a0，又因为函数y=f(x)图象过原点，所以c=0,故y=ax2+bx+c的顶点：x=-0,y=0，故选A.答案：A变式提升2当a取何值时，函数f(x)=x3+(a-1)x2+2x+1在区间(-,+)内是增函数？解：f(x)=(a2-1)x2+2(a-1)x+2因为f(x)在(-,+)内是增函数，f(x)=(a2-1)x2+2(a-1)x+20恒成立.当a=1时，f(x)=20,恒成立.当a=-1时，f(x)=-4x+2,f(x)0不恒成立.当a1时，应有解得a1或a-3综上可知a1或a-3.类题演练3求证：23-(x1)证明：令f(x)=2-3+,则f(x)=.x1时，x2x0.f(x)=0.f(x)在(1,+)上为增函数.当x1时，f(x)f(1)=2-3+1=0.当x1时，23-.变式提升3x0,求证ex1+x证明：令f(x)=ex-1-x,f(0)=e0-1-0=0,f(x)=ex-1.当x0时，f(x)=ex-10，即f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)f(0),即ex-1-x0,即ex1+x.当x0时，f(x)=ex-1f(0).即ex-1-x0，即ex1+x.综上可知：x0时，ex1+x.
