1、高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形高考大题专项练第4页1.在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解:(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.2.(2019北京,文15)在ABC中,a=3,b-
2、c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=32.由正弦定理得sin A=absin B=3314.在ABC中,B+C=-A.所以sin(B+C)=sin A=3314.3.在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD的面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解:(1)SABD=12AB
3、ADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.4.在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解:(1)在ABC中,cos B=-17,B2,sin B=1-cos2B=437
4、.由正弦定理得asinA=bsinB,即7sinA=8437,sin A=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=32-17+12437=3314.如图所示,在ABC中,过点B作BDAC于点D.sin C=hBC,h=BCsin C=73314=332,AC边上的高为332.5.(2019天津,文16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解:(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得b
5、sin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sin B=1-cos2B=154,从而sin 2B=2sin Bcos B=-158,cos 2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin 2Bcos 6+cos 2Bsin 6=-15832-7812=-35+716.6.已知函数f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx+4.(1)求函数f(x)的
6、最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间-12,2上的值域.解:(1)f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx+4=12cos 2x+32sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)=12cos 2x+32sin 2x+sin2x-cos2x=12cos 2x+32sin 2x-cos 2x=sin2x-6,周期T=22=.由2x-6=k+2(kZ),得x=k2+3(kZ).故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=k2+3(kZ).(2)x-12,2,2x-6-3,56.当2x-6=2,即x=3时,f(x)取最大值1;当2x-6=-3,即x=-12时
7、,f(x)取最小值-32.函数f(x)在区间-12,2上的值域为-32,1.7.(2019河北沧州高三模拟)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA-sinCb+c=sinB-sinCa.(1)求B;(2)若b=3,求2a-c的取值范围.解:(1)由题意及正弦定理,得a-cb+c=b-ca,即a2-ac=b2-c2.所以a2+c2-b2=ac.由余弦定理,得cos B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,所以B=3.(2)由正弦定理,得asinA=csinC=bsinB=23,所以a=23sin A,c=23sin C,所以2a-c=43sin A-23sin C=23(2sin A-sin C).又A+B+C=,所以C=23-A,A0,23,所以2a-c=232sinA-sin23-A=2332sinA-32cosA=6sinA-6.又A0,23,所以A-6-6,2,所以-36sinA-60,cos C=5-12.又B+C=2,sin B=5-12.
