1、8 函数y=Asin(x+)的图像 与性质(二)必备知识自主学习 导思 1.函数y=Asin(x+)的性质有哪些?2.求函数y=Asin(x+)的单调区间应注意什么?函数y=Asin(x+)(A0)的性质 【思考】如何求函数y=Asin(x+)的性质?提示:掌握函数y=sin t的性质,令t=x+,求函数y=Asin(x+)的性质.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)函数y=tan(x+)(0)的周期T=.()(2)函数y=sin(x+)的对称轴间水平距离为周期的 .()(3)求函数y=sin 的增区间时,解不等式-+2k-2x+2k,kZ即可.()212(2x)32322
2、.函数y=sin 的最小正周期是()A.B.C.2 D.4【解析】选B.由T=.(2x)62222 3.(教材二次开发:习题改编)函数f(x)=2sin ,当f(x)取得最小值时,x的取 值集合为()x()262A.x|x4k,kZ32B.x|x4k,kZ3 C.x|x4k,kZ3D.x|x4k,kZ3 关键能力合作学习 类型一 函数y=Asin(x+)的最值(值域)问题(数学运算)【题组训练】1.函数f(x)=sin ,若f(x1)f(x)f(x2)恒成立,则|x1-x2|的最小值是 _.2.已知函数f(x)=sin (1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间-,0上的最小值.(x
3、)252(x).42【解题策略】1.求函数y=Asin(x+),xm,n的值域的步骤(1)换元,u=x+,并求u的取值范围.(2)作出y=sin u(注意u的取值范围)的图像.(3)结合图像求出值域.2.函数y=Asin(x+)+b的值域(最值)的求解策略(1)xR时:把“x+”视为一个整体,结合函数y=Asin x+b中sin x的有界性求其值域.(2)xa,b时:把“x+”视为一个整体,先依据xa,b,求出“x+”的范围,在此基础上类比函数y=Asin x+b值域的求法,结合函数单调性或函数图像求解.【补偿训练】已知函数f(x)=asin +1(a0)的定义域为R,当-时,f(x)的 最大
4、值为2,求a的值.(2x)37x1212类型二 三角函数的性质及应用(逻辑推理)角度1 函数y=Asin(x+)的周期 【典例】求下列函数的周期:(1)y=sin (xR);(2)y=sin (xR).【思路导引】直接使用T=计算.(2x)3(x)262|角度2 函数y=Asin(x+)单调性问题 【典例】1.函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示,则f(x)的递减区间为()13A.(k,k)(kZ)4413B.(2k,2k)(kZ)4413C.(k,k)(kZ)4413D.(2k,2k)(kZ)44 2.函数f 的一个单调递增区间是()【思路导引】1.由“五点法”作图可求得函数的解析
5、式,再用整体的思想求函 数的递减区间.2.先把函数的解析式化为f(x)=-3sin ,再求其递增区间.2(x)3sin(2x)37137A.,B.,121212 125C.,D.,2 266 2(2x)3 角度3 函数y=Asin(x+)的奇偶性、对称性 【典例】(1)函数y=sin 的图像的对称轴方程为_,对称中心为_.(2)若函数f(x)=2sin 是偶函数,则的值可以是()【思路导引】(1)将2x+看作整体,整体代换求解.(2)将函数转换成f(x)=2cos 2x的形式,才能符合函数f(x)为偶函数这一条件.(2x)3(2x)3 5A.B.C.D.62323【解题策略】1.关于函数y=A
6、sin(x+)的对称性与奇偶性(1)将x+看作整体,代入到y=sin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出 函数y=Asin(x+)的对称中心、对称轴或求值.(2)若函数y=Asin(x+)为奇函数,则=k,kZ,若函数y=Asin(x+)为 偶函数,则=+k,kZ,函数y=Asin(x+)的奇偶性实质是函数的对称中 心为原点、对称轴为y轴的特殊情况.22.求解函数y=Asin 单调区间的四个步骤(1)将化为正值.(2)根据A的符号确定应代入y=sin 的单调增区间,还是单调减区间.(3)将x+看作一个整体,代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在 R上的单调区间.(4)如果要求函数在给定
7、区间上的单调区间,则给k赋值求单调区间.(x)【题组训练】1.下列函数中,最小正周期为的奇函数是()A.ysin(2x)B.ycos(2x)22C.y2sin(2x)D.y2sin(x)442.函数f(x)=sin (0)满足f ,且f(x)在 上单调,则=_.(x)3()f()63(,)6 3 3.设函数f(x)=sin(2x+)(-0,0)是R上的偶函数,其图像关于点 M 对称,且在区间 上 是单调函数,求和的值.0,23(,0)4(x)3f()23【思路导引】1.由题中条件,使用排除法解题.2.对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.3.由函数f(x)是偶函数求,由函数f(x)的周期
8、大于等于,求.【解题策略】函数y=Asin(x+)综合应用的注意点(1)平移问题:应特别注意要提取x的系数,即将x+变为 后再观察x的变化.(2)对称性、单调性问题:应特别注意将x+看作整体,代入一般表达式解出x的值.(3)值域问题:同样是将x+看作整体,不同的是根据x的范围求x+的范围,再依 据图像求值域.(4)奇偶性问题:由来确定,=k(kZ)时是奇函数,=k+(kZ)时是偶函数.(x)2【跟踪训练】1.已知函数f(x)=sin ,若存在(0,),使得f(x+)=f(x+3)恒成立,则的值是()(2x)4A.B.C.D.63422.若函数y=Asin(x+)(A0,0,0 )的最大值为2,
9、其相邻的最高点 与最低点横坐标之差为3,又图像过(0,),求函数的解析式及单调区间.22课堂检测素养达标 1.函数y=2sin +2的最大值为()A.2 B.4 C.3 D.5【解析】选B.由于xR,所以-1sin 1,所以y2+2=4.(2x)6(2x)62.函数y=的图像的一条对称轴是()A.x=-B.x=C.x=-D.x=【解析】选C.由x-=k+,kZ,解得x=k+,kZ,令k=-1,得x=-.1 sin(x)232626325663.函数f(x)=3sin 的图像为C,下列结论中正确的是_(写出所有正 确结论的序号).图像C关于直线x=对称;图像C关于点 对称;函数f(x)在区间 内是增加的;由y=3sin 2x的图像向右平移 个单位长度可以得到图像C.(2x)311122(,0)35(,)12 1234.(教材二次开发:例题改编)函数f(x)=的最大值为_.【解析】cos ,则f(x)=,函数的最大值为 .答案:1sin(x)cos(x)536(x)cos(x)sin(x)6233 16sin(x)sin(x)sin(x)5335365655.已知函数f(x)=2sin ,xR.(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标;(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.(2x)60,2