1、第5节天体运动中的四类问题必备知识预案自诊知识梳理四类问题赤道上物体、近地卫星、同步卫星的运行问题卫星变轨问题天体运动中的能量问题天体中的追及相遇问题示意图题型简述比较三种运动的轨道半径、线速度、角速度、运行周期、向心加速度等当卫星速度突然改变时,万有引力不再等于向心力,卫星将做变轨运动卫星在圆形(椭圆)轨道上运行时,卫星的动能和重力势能均不发生变化,但卫星在发射、变轨、对接、着陆等过程中伴随着做功和能量的变化某天体有两颗轨道共面的卫星,从某次它们在天体中心同侧与天体中心共线(两卫星相距最近)到下次出现这一情形的问题考点自诊1.(新教材人教版必修第二册P71习题改编)2020年7月23日12时
2、41分,“天问一号”在海南文昌航天发射场由长征5号运载火箭发射升空,成功送入地火转移轨道。你认为选择在海南文昌建发射场的优势是什么?在地火转移轨道飞行时,“天问一号”是一颗人造行星,与地球、火星共同绕太阳公转,这种说法对吗?2.(新教材人教版必修第二册P61内容改编)2020年是我国首颗人造卫星“东方红一号”成功发射50周年。1970年4月24日,我国第一颗人造地球卫星“东方红1号”发射成功,开创了中国航天史的新纪元。为我国航天事业作出特殊贡献的科学家钱学森被誉为“中国航天之父”。“东方红一号”轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的“东方红
3、二号”卫星运行在赤道上空36 000 km的同步卫星轨道上。设“东方红一号”在近地点的加速度为a1,线速度为v1,“东方红二号”的加速度为a2,线速度为v2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3,线速度为v3,试比较它们之间的大小关系。3.(新教材人教版必修第二册P72习题改编)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,天文学称为“行星冲日”。已知地球等行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示,则土星相邻两次冲日的时间间隔为多少年?下列地外行星中相邻两次冲日的时间间隔最短的是哪一个?行星地球火星木星土星天王星
4、海王星轨道半径R/AU1.01.55.29.51930关键能力学案突破考点一赤道上物体、近地卫星、同步卫星的运行问题(自主探究)比较内容赤道上物体近地卫星同步卫星向心力来源万有引力的分力万有引力向心力方向指向地心重力与万有引力的关系重力略小于万有引力重力等于万有引力线速度v1=1Rv2=GMRv3=3(R+h)=GMR+hv1v3v2(v2为第一宇宙速度)角速度1=自2=GMR33=自=GM(R+h)31=32向心加速度a1=12Ra2=22R=GMR2a3=32(R+h)=GM(R+h)2a1a3v2v3B.v1v3v2C.a1a2a3D.T1T2T32.(多选)有a、b、c、d四颗地球卫星
5、,a还未发射,在赤道表面上随地球一起转动,b是近地轨道卫星,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星,它们均做匀速圆周运动,各卫星排列位置如图所示,则()A.a的向心加速度等于重力加速度g,c的向心加速度大于d的向心加速度B.在相同时间内b转过的弧长最长,a、c转过的弧长对应的角度相等C.c在4小时内转过的圆心角是3,a在2小时内转过的圆心角是6D.b的周期一定小于d的周期,d的周期一定小于24小时3.(多选)承担嫦娥四号中继通信任务的鹊桥中继卫星在地月第二拉格朗日点上,第二拉格朗日点是地月连线延长线上的一点,处于该位置上的卫星与月球同步绕地球公转,则该卫星的()A.向心力仅来自于地球引力B.线速度
6、大于月球的线速度C.角速度大于月球的角速度D.向心加速度大于月球的向心加速度考点二卫星变轨问题(师生共研)1.两类变轨简介两类变轨离心运动近心运动示意图变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与向心力的大小关系GMmr2mv2r2.理解椭圆双切轨道如图所示,椭圆轨道与圆周轨道、相切于A、B点,卫星通过A、B点相继在三个轨道上运行。(1)速度有v1v2v3v4分析:在椭圆上的切点A处有v1v2。圆周和圆周比较有v2v3。在椭圆上的切点B处有v3v4。(v1是在椭圆上经A点的速度,v2是圆周的速度)(2)沿椭圆由A至B,加速度逐渐变小。(3)能量特点轨道引力做功情况EkEpE机圆周不做功大
7、小小圆周不做功小大大椭圆AB负减小增大中BA正增大减小(4)瞬时变轨特点在A点,由圆周变至椭圆时,发动机向后喷气,推力做正功,动能增加、势能不变、机械能增加。在B点,由椭圆变至圆周时,发动机向后喷气,推力做正功,动能增加、势能不变、机械能增加。反之也有相应的规律。(5)周期有TTT分析:圆周、有T=2r13GMT=2r33GM。由几何关系知椭圆半长轴为r1+r22,由开普勒第三定律知椭圆轨道有T=2r1+r223GM,计算知T介于T、T之间。【典例1】(多选)嫦娥四号探测器到达月球附近,成功实施近月制动,顺利完成“太空刹车”,被月球捕获并顺利进入环月轨道。整个奔月过程简化如下:嫦娥四号探测器从
8、地球表面发射后,进入地月转移轨道,经过M点时变轨进入圆形轨道,在轨道上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道。下列说法正确的是()A.嫦娥四号沿轨道运行时,在P点的加速度大于在Q点的加速度B.嫦娥四号沿轨道运行的周期大于沿轨道运行的周期C.嫦娥四号在轨道上的运行速度小于月球的第一宇宙速度D.嫦娥四号在地月转移轨道上M点的速度大于在轨道上M点的速度解题指导审题关键词句分析解读经过M点时变轨进入圆形轨道变轨,速度变化经过P点时再次变轨进入椭圆轨道再一次变轨破题根据万有引力确定加速度关系,根据开普勒第三定律确定周期关系,根据万有引力提供向心力,比较线速度和第一宇宙速度。规律方法卫星变轨问题的实质变轨起因卫星
9、速度突然增大卫星速度突然减小受力分析GMmr2mv2r变轨结果变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动,在新的轨道上运行速度要减小,重力势能、机械能均增加变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动,在新轨道运行上运行速度将增大,重力势能、机械能均减少应用卫星的发射和回收对点演练4.我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大工程,在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图所示,假设月球半径为R,月球表面的重力加速度为g0,飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道上运动,到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道,到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道绕月球做圆周运动,则()A.飞行器在B处点火后,动能增
10、加B.飞行器在轨道上绕月球运行一周所需的时间为2Rg0C.只有万有引力作用的情况下,飞行器在轨道上通过B点的加速度大于在轨道上通过B点的加速度D.由已知条件不能求出飞行器在轨道上的运行周期考点三天体运动中的能量问题(师生共研)1.卫星(或航天器)在同一圆形轨道上运动时,机械能不变。2.航天器在不同轨道上运行时机械能不同,轨道半径越大,机械能越大。【定性分析】卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动,轨道半径增大,万有引力做负功,卫星动能减小,由于变轨时遵从能量守恒,稳定在圆轨道上时需满足GMmr2=mv2r,致使卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率,但机械能增大;相反,卫星速率
11、减小(发动机做负功)会做向心运动,轨道半径减小,万有引力做正功,卫星动能增大,同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率,但机械能减小。【定量分析】设卫星在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的速度为v,地球的质量为M,卫星的质量为m,由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力:GMmr2=mv2r,所以人造卫星的动能Ek=12mv2=GMm2r。由于重力加速度g随高度增大而减小,所以重力势能不能再用Ep=mgh计算,而要用到公式Ep=-GMmr(规定无穷远处势能为零,M为地球质量,m为卫星质量,r为卫星轨道半径,由于从无穷远向地球移动的过程中万有引力做正功,所以系统势能减小,为负)
12、。所以卫星具有的机械能为E=Ek+Ep=GMm2r-GMmr=-GMm2r。同样质量的卫星,轨道半径越大,即离地面越高,卫星具有的机械能越大,发射越困难。【典例2】(2020河北衡水第三次质检)2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕。如图为发射卫星的示意图,先将卫星发射到半径为r1=r的圆轨道上做匀速圆周运动,到A点时使卫星加速进入椭圆轨道,到椭圆轨道的远地点B点时,再次改变卫星的速度,使卫星进入半径为r2=2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值,卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v,卫星的质量为m,地球质量为M,引力常量为G,则发动机在A点对卫星做的功
13、与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)()A.34mv2+3GMm4rB.34mv2-3GMm4rC.58mv2+3GMm4rD.58mv2-3GMm4r思维点拨卫星在各个圆轨道上做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力可求各个圆轨道上的动能;根据卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值可求在椭圆轨道上通过B点时的速度。对点演练5.(多选)(2020四川成都期末)如图所示,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、N为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0,若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中()A.从P到M所用的时间等于T04
14、B.从Q到N阶段,机械能逐渐变大C.从P到Q阶段,速率逐渐变小D.从M到N阶段,万有引力对它先做负功后做正功6.(2020山东日照期末)如图所示,发射地球卫星时,先将卫星发射至半径为R的近地圆形轨道1上运行,然后在P处点火,使其沿椭圆轨道2运行,运行至Q处再次点火,将卫星送至半径为3R的圆形轨道3上运行。已知地球质量为M,引力常量为G,卫星质量为m0。又知若质量为m的物体在离地球无穷远处时其引力势能为零,则当物体与地球球心距离为r时,其引力势能Ep=-GMmr,不计空气阻力。求:(1)卫星在圆形轨道1、3上正常运行时的速度大小v1、v3;(2)卫星在圆形轨道1、3上正常运行时的机械能E1、E2
15、。考点四天体中的追及相遇问题(师生共研)“天体相遇”,指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内,则两环绕天体与中心天体在同一直线上,且位于中心天体的同侧(或异侧)时相距最近(或最远)。类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛,跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上跑得慢的。解决这类问题有两种常用方法:1.角度关系设天体1(离中心近些)与天体2某时刻相距最近,如果经过时间t,两天体与中心连线半径转过的角度之差(或和)等于2的整数倍,则两天体又相距最近,即1t-2t=2n(同向)或1t+2t=2n(n=1,2,3)(反向),如果经过时间t,两天体与中心连线半径转过的角度之差(或和)等于的奇数倍,则
16、两天体相距最远,即1t-2t=(2n-1)(n=1,2,3)(同向)或1t+2t=(2n-1)(n=1,2,3)(反向)。2.圈数关系最近:tT1-tT2=n(同向),tT1+tT2=n(n=1,2,3)(反向)最远:tT1-tT2=2n-12(同向),tT1+tT2=2n-12(n=1,2,3)(反向)【典例3】两颗卫星在同一轨道平面内绕地球同向做匀速圆周运动。地球半径为R,a卫星离地面的高度等于R,b卫星离地面的高度等于3R。则:(1)a、b两卫星周期之比TaTb是多少?(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方,则经多长时间两卫星相距最远(用Ta表示)?思维点拨根据万有引力提供向
17、心力的周期表达形式,求得a、b两卫星的周期之比;根据天体中的追及相遇问题的角度关系或圈数关系求得相距最远的时间。对点演练7.人造卫星a的圆形轨道离地面高度为h,地球同步卫星b离地面高度为H,且ha2;“东方红二号”卫星为地球同步卫星,它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度,由匀速圆周运动的规律a=2r及“东方红二号”卫星半径大,可得a2a3,综上可得a1a2a3。假设“东方红一号”卫星过近地点做匀速圆周运动的线速度为v1,需要点火加速变为椭圆轨道,则v1v1;根据万有引力提供向心力有GMmr2=mv2r,得卫星的线速度v=GMr,“东方红二号”的轨道半径大,则v1v2;“东方红二号”卫星为
18、地球同步卫星,它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度,由匀速圆周运动的规律有v=r,可得v2v3,综上可得v1v2v3。3.答案见解析解析根据开普勒第三定律,有R3T2=R地3T地2;解得T=(RR地)3T地,故T土=9.53年=29.28年,如果两次行星冲日时间间隔为t年,则地球多转动一周,有2=2T地-2Tt;解得t=TT地T-T地;故土星相邻两次冲日的时间间隔为t土=1.04年;t=TT地T-T地=T地1-T地T,故海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。关键能力学案突破对点演练1.BD人造卫星绕地球做匀速圆周运动时,根据万有引力提供向心力得GMmr2=mv2r,线速度v=GMr,所以v1
19、v3,在椭圆轨道远地点实施变轨是做逐渐远离圆心的运动,要实现这个运动应给卫星加速,增加所需的向心力,卫星在轨道3上经过P点时的速度大于在轨道2上经过P点时的速度,即v3v2,故有v1v3v2,故A错误,B正确;根据万有引力提供向心力得a=GMr2,所以a1a3=a2,故C错误;根据开普勒第三定律得a3T2=k,所以T1T2vcvd,又a与c角速度相等,且a的轨道半径小于c的轨道半径,故vcva,即b的线速度最大,所以在相同时间内b转过的弧长最长,选项B正确。a、c角速度相同,在4小时内转过的圆心角都为26=3,在2小时内转过的圆心角都为212=6,选项C正确;b和c的轨道半径都小于d的轨道半径
20、,由开普勒第三定律可知,b的运动周期一定小于d的运动周期,d的运动周期一定大于c的运动周期(24小时),选项D错误。3.BD卫星受到的地球和月球的共同作用的引力提供向心力,故A错误;卫星与月球同步绕地球运动,角速度相等,卫星的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大,根据v=r知卫星绕地球转动的线速度比月球绕地球的线速度大,故B正确,C错误;卫星的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大,根据a=2r知卫星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度大,故D正确。典例1CD根据牛顿第二定律有GMmr2=ma,可得a=GMr2,可知嫦娥四号探测器沿轨道运行时,在P点的加速度小于在Q点的加速度,故A错误;卫
21、星在轨道上运动的半长轴小于在轨道上运动的轨道半径,根据开普勒第三定律可知,卫星在轨道上运动的周期小于在轨道上运行的周期,故B错误;月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度,嫦娥四号在轨道上的半径大于月球半径,可知嫦娥四号在轨道上的运行速度比月球的第一宇宙速度小,故C正确;嫦娥四号在地月转移轨道上经过M点若要进入轨道,需减速,所以在地月转移轨道上经过M点的速度比在轨道上经过M点时速度大,故D正确。对点演练4.B在椭圆轨道近月点变轨成为圆轨道,要实现变轨应给飞行器点火减速,减小所需的向心力,故点火后动能减小,故A错误;设飞行器在近月轨道绕月球运行一周所需的时间为T3,则mg0=mR
22、42T32,解得T3=2Rg0,根据几何关系可知,轨道的半长轴a=2.5R,根据开普勒第三定律a3T2=k以及飞行器在轨道上的运行周期,可求出飞行器在轨道上的运行周期,故B正确,D错误;只有万有引力作用的情况下,飞行器在轨道上通过B点的加速度与在轨道上通过B点的加速度相等,故C错误。典例2D当卫星在r1=r的圆轨道上运行时,有GMmr2=mv02r,解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0=GMr,所以发动机在A点对卫星做的功为W1=12mv2-12mv02=12mv2-GMm2r;当在r2=2r的圆轨道上运行时,有GMm2r2=m(v0)22r,解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度为v0=
23、GM2r,而根据卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值可知,在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1=r1r2v=12v,故发动机在B点对卫星做的功为W2=12m(v0)2-12mv12=GMm4r-18mv2,所以W1-W2=58mv2-3GMm4r,D正确。对点演练5.CD海王星在PM段的速度大小大于MQ段的速度大小,则PM段的时间小于MQ段的时间,所以P到M所用的时间小于T04,故A错误;从Q到N的过程中,由于只有万有引力做功,机械能守恒,故B错误;从P到Q阶段,万有引力做负功,速率减小,故C正确;根据万有引力方向与速度方向的关系知,从M到N阶段,万有引力对它先做负功后做正功,故D正确
24、。6.答案(1)GMRGM3R(2)-GMm02R-GMm06R解析(1)卫星在轨道1上运行时,有GMm0R2=m0v12R解得v1=GMR卫星在轨道3上运行时,有GMm0(3R)2=m0v323R,解得v3=GM3R(2)卫星在圆形轨道1上正常运行时的机械能E1=12m0v12-GMm0R卫星在圆形轨道3上正常运行时的机械能E2=12m0v32-GMm03R解得E1=-GMm02R,E2=-GMm06R典例3答案(1)122(2)t=4+27(2n-1)Ta (n=1,2,3)解析(1)根据GMmr2=m42T2r得T=42r3GM,则Ta=2(2R)3GM,Tb=2(4R)3GM,所以Ta
25、Tb=122。(2)设经过时间t两卫星相距最远,则tTa-tTb=12(2n-1)(n=1,2,3),所以t=4+27(2n-1)Ta(n=1,2,3)。对点演练7.B设卫星的线速度为v,地球对卫星的万有引力提供向心力,则有GMmr2=mv2r,所以v=GMr,可知a、b线速度大小之比为R+HR+h,故A错误;地球对卫星的万有引力提供向心力,则有GMmr2=m2r,解得=GMr3,可知a、b角速度之比为ab=(R+H)3(R+h)3,又由于同步卫星b的角速度与c的角速度相同,所以ac=(R+H)3(R+h)3,故B正确;同步卫星b的角速度与c的角速度相同,根据向心加速度公式a=2r可得abac
26、=R+HR,故C错误;设经过时间t卫星a再次通过建筑物c上方,根据几何关系有(a-c)t=2,对在地球表面上质量为m0的物体有GMm0R2=m0g,联立解得t=2a-c=2gR2(R+h)3-gR2(R+H)3,故D错误。8.C“鹊桥”与月球绕地球运动的角速度相同,则根据v=r可知,“鹊桥”与月球的线速度之比为v鹊v月=(L+d)L,故选项A错误;根据a=r2可知,“鹊桥”与月球的向心加速度之比为a鹊a月=(L+d)L,故B错误;“鹊桥”做圆周运动的向心力等于地球和月球对其的万有引力之和,则GkM月m(L+d)2+GM月md2=ma鹊,对月球有GkM月M月L2=M月a月,且a鹊a月=(L+d)L,联立解得1(L+d)2+1kd2=L+dL3,选项C正确,D错误。