1、北京师大附中高三数学练习（2）2007.91设函数f (x )在x = x0处的导数不存在，则曲线y = f (x )（ ）A在点x0，f (x0)处的切线不存在 B在点x0，f (x0)处的切线可能存在C在点x0处间断 D不存在2已知函数y = x3 + ax2a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a的值为（ ）A0 B3 C0或3 D非以上答案3设f (x )为可导函数，且满足=1，则过曲线y = f (x )上，点 (1，f (1)处的切线斜率为（ ）A2 B1 C1 D24函数y = 2x33x212x + 5在区间0，3上的最大值和最小值依次是（ ）A12，15 B5，15 C5，4
2、 D4，15已知函数f (x ) = x3 + mx2 + (m + 6) x + 1既存在极大值又存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）A(1，2) B(，3)(6，+)C(3，6) D(，1)(2，+)6当x0，2时，函数f (x ) = ax2 + 4 (a1)x3在x = 2时取得最大值，则a的取值范围是（ ）A，+ B0，+ C1，+ D，+7曲线3x2y + 6 = 0在x =处的切线的倾斜角是（ ）A B C D8曲线y =x32在点 (1，)处切线的倾斜角为（ ）A30 B45 C60 D909已知y = 2x3ax + c在(，+)上的单调递增，则（ ）Aa0且cR Ba0且
3、cR Ca0且c = 0 Da0且c010函数f (x ) = x3 + ax2 + bx + c，其中a，b，c为实数，当a23b0时，f (x )是（ ）A增函数 B减函数 C常数 D既不是增函数也不是减函数11函数f (x ) = x42x2 + 5在区间2，3上的最大值与最小值分别是（ ）A5、4 B13、4 C68、4 D68、512已知函数f (x ) = x3 + ax2 + (a + 6)x + 1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）A1a2 B3a6 Ca3或a6 Da1或a213已知函数f (x ) = x3 + ax2 + bx + a2在x = 1处有极值为10
4、，则f (2 )等于 .14二次函数y = x2 + 2ax + b在1，+上单调递增，则实数a的取值范围是 .15某质点的运动方程是S = t3(2t1)2，则在t = 1 s时的瞬时速度为 .16函数y = 3x22lnx的单调减区间为 .17已知f (x ) = x3 + bx2 + cx + d在(，0)上是增函数，在0，2上是减函数，且方程f (x ) = 0有三个根，它们分别为，2，.（1）求c的值；（2）求证：f (1 )2.18已知函数f (x ) = x44x3 + ax21在区间0，1单调递增，在区间1，2单调递减.（1）求a的值；（2）若点A (x0，f (x0)在函数f
5、 (x )的图像上，求证点A关于直线x = 1的对称点B也在函数f (x )的图像上；（3）是否存在实数b，使得函数g (x ) = bx21的图像与函数f (x )的图像恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.19有一块边长为6 m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池.（1）写出以x为自变量的容积V的函数解析式V (x )，并求函数V (x )的定义域；（2）指出函数V (x )的单调区间；（3）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？北京师大附中高三数学练习2（答案）题 号123456789101112答 案
6、BCDBBDCBAACC1318； 141，+； 151； 16(0，)；17（1）(x) = 3x2 + 2bx + c， f (x )在(，0)上是增函数，在0，2上是减函数， x = 0时，f (x )取到极大值. (0 ) 0， c = 0.（2） f (2 ) = 0， d =4 (b +2)，(x ) = 3x2 + 2bx = 0的两个根分别为x1 = 0，x2 =， 函数f (x )在0，2上是减函数， x2 =2. b3， f (1 ) = b + d + 1 = b4 (b +2) + 1 = 73b2.*18（1）由函数f (x ) = x44x3 + ax21在区间0，
7、1单调递增，在区间1，2单调递减， x = 1时，取得极大值， (1 ) = 0，( x ) = 4x312x2 + 2ax， 412 + 2a = 0 a = 4.（2）点A (x0，f (x0)关于直线x = 1的对称点B的坐标为 (2x0，f (x0)，f (2x0) = (2x0)44(2x0)3 + 4 (2x0)21= (2x0)2(2x0)221=4+ a1 = f (x0)， A关于直线x = 1的对称点B也在函数f (x )的图像上.（3）函数g (x ) = bx21的图像与函数f (x )的图像恰有3个交点，等价于方程x44x3 + 4x21 = bx21恰有3个不等实根
8、，x44x3 + 4x21 = bx21 x44x3 + (4b)x2 = 0. x = 0是其中一个根， 方程x44x3 + (4b)x2 = 0有两个非零不等实根， b0且b4.*19（1）设蓄水池的底面边长为a，则a = 62x，则蓄水池的容积为V (x ) = x (62x)2.由 得函数V (x )的定义域为x(0，3).（2）由V (x ) = x (62x)2 = 4x324x2 + 36x，得(x ) = 12x248x + 36.令(x ) =12x248x + 360，解得x1或x3；令(x ) =12x248x + 360，解得1x3.故函数V (x )的单调增区间是(0，1)，单调减区间为(1，3).（3）令(x ) =12x248x + 36 = 0，得x = 1或x = 3（舍去）.此时a = 4，并求得V (1 ) = 16，由V (x )的单调性知，16为V (x )的最大值，故蓄水池的底边为4m时，蓄水池的容积最大，其最大容积是16 m3.*