1、高考大题专项练5高考中的解析几何高考大题专项练第10页1.已知椭圆C:x2+2y2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解:直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00.因为OAOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=,故直线AB的方程为x=,圆心O到直线AB的距离d=,此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x
2、0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又+2=4,t=-,故d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.导学号324708842.(2015沈阳一模)已知椭圆C:=1(ab0),其中e=,焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在AM之间.又点A,B的中点横坐标为,且=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求实数的值.解:(1)由条件可知,c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程是=1.(2)由=,可知A,B,M三点共线,设点A(x1,y1),点B(x2,y2).若直线ABx轴,则x1=x2=4,不合题意.当AB所在直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y=k
3、(x-4).由消去y,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.由的判别式=322k4-4(4k2+3)(64k2-12)=144(1-4k2)0,解得k2.又由,可得k2=,即有k=.将k2=代入方程,得7x2-8x-8=0,则x1=,x2=.又因为=(4-x1,-y1),=(x2-4,y2),=,所以=,所以=.导学号324708853.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|=()+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2x02=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方
4、程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为:y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2,联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由SMPQ=|PQ|h代入化简得:SMPQ=;当且仅当t2=10时,SMPQ可取最大值.导学号324708875.(2015石家庄高三质检一)定长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,动点P满足=2.(1)求点P的轨迹曲线C的方程;(2)若过点(1,0)的直线与曲线C交于M,N两点,求的最大值.解:(1)设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),由=2得
5、(x,y-y0)=2(x0-x,-y),即又因为=9,所以+(3y)2=9.化简得+y2=1,故点P的轨迹方程为+y2=1.(2)当过点(1,0)的直线为y=0时,=(2,0)(-2,0)=-4.当过点(1,0)的直线不为y=0时,可设直线方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立化简得(t2+4)y2+2ty-3=0,则=4t2+12(t2+4)=16t2+480恒成立,由韦达定理得y1+y2=-,y1y2=-.所以=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)+t+1=-4+.当t=0时,()max=
6、.综上所述,的最大值为.导学号324708886.已知动点C是椭圆:+y2=1(a1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆的方程;(2)已知椭圆的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y-1,
7、1.因为a1,故当y=-1,即1-1,即a3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5(a=2舍去).综上所述,椭圆的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0),又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,故2x0-=50,从而0x02.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0mb0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭
8、圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由题意知c=1,又=tan 60=,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆的方程为=1.(2)设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k0),代入=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为R(x0,y0),则x0=,y0=k(x0-1)=-,由()=(2)=0,所以直线TR为直线PQ的垂直平分线,直线TR的方程为y+=-,令y=0得T点的横坐标t=.
9、因为k2(0,+),所以+4(4,+),所以t.所以线段OF上存在点T(t,0),使得,其中t.导学号324708908.(2015江西三校联考)已知抛物线E:y2=2px(p0)的准线与x轴交于点K,过点K作圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为M,N,|MN|=.(1)求抛物线E的方程;(2)设A,B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且(其中O为坐标原点).求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标;过点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点,求四边形AGBD面积的最小值.解:(1)由已知得K,C(2,0).设MN与x轴交于点R,由圆的对称性可知,|MR|=.于是|CR|=,所以|CK|=3,即2+=3,p=2.故抛物线E的方程为y2=4x.(2)证明:设直线AB的方程为x=my+t,A,B.联立得y2-4my-4t=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4t.由+y1y2=,故y1y2=-18(y1y2=2舍去),即-4t=-18,即t=,所以直线AB过定点Q.由得|AB|=|y2-y1|=,同理得|GD|=|y2-y1|=.则四边形AGBD的面积S=|AB|GD|=4.令m2+=(2),则S=4是关于的增函数,故Smin=88,当且仅当m=1时取到最小值88.导学号32470891