1、7 正 切 函 数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质 必备知识自主学习 1.正切函数的定义 在直角坐标系中:(1)角 的终边与单位圆交于点P .(2)把比值_叫作角 的正切函数;记作y=tan .导思1.正切函数是如何定义的?2.如何画正切函数的图像?3.正切函数的性质有哪些?(a,b)ba【思考】何时有意义?提示:当a0时,有意义.baba2.正切线 如图所示,线段_为角 的正切线.AT【思考】正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系?提示:tan =sincos(R,k,kZ).2 3.正切函数y=tan x（xR,x +k,kZ）的图像与性质 2 函数 性质 y=tan
2、x图像 定义域 _x|xRxkkZ2，函数 性质 y=tan x值域_奇偶性_周期性周期函数,周期是_(kZ,k0),最小正周期是_R 奇函数 k 函数 性质 y=tan x单 调 性增区间 _减区间无渐近线x=+k(kZ)(kk)(kZ)22 ，2【思考】能否说正切函数在整个定义域内是增函数?提示:不能.正切函数y=tan x在每段区间 (kZ)上 是增加的,但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数.(k,k)22 【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)正切函数y=tan x的定义域为R.()(2)正切函数y=tan x的最小正周期为.()(3)正切函数y=tan x是奇函
3、数.()(4)正切函数y=tan x的图像关于x轴对称.()2.已知角 的终边上一点P(2,b),若tan =,则实数b的值为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.因为tan =,所以b=1.121b22，3.(教材二次开发:练习改编)函数y=tan x,x 的值域是_.【解析】函数y=tan x在 上是增加的,所以ymax=tan =1,ymin=tan 0=0.答案:0,1 0,40,44关键能力合作学习 类型一 正切函数的定义(数学抽象)【题组训练】1.已知角 的终边过点P(2x,-6),且tan =-,则x的值为()A.3 B.-3 C.-2 D.2 342.若 为第三象限角
4、,则下列各式中不成立的是()A.tan -sin 0 B.sin +cos 0 C.cos -tan 0 D.tan sin 0,所以角是第一或第三象限角.若角是第一象限角,则由tan=,角的终边上必有一点P(2,1),所以r=|OP|=.所以sin=,cos=12121222215 y15r55x22 5.r55若角是第三象限角,则由tan=知,角的终边上必有一点P(-2,-1),所以r=|OP|=所以sin=,cos=1222215.y15r55x22 5.r552.已知角 终边经过点P(-5,-12),则tan 的值是()【解析】选A.由于角终边经过点P(-5,-12),则tan=121
5、255A.B.C.D.5512121212.553.若点A(x,y)是120角终边上异于原点的一点,则 的值为_.【解题指南】根据三角函数的定义,是120角的正切值,求解即可.【解析】点A(x,y)是120角终边上异于原点的一点,则 的值就是:tan 120=,所以 =tan 120=-.答案:-yxyxyxyx33yx类型二 正切函数的图像及应用(逻辑推理、直观想象)【典例】1.作出函数y=tan|x|的图像,判断函数的奇偶性及周期性.2.根据正切函数的图像,写出tan x-1的解集.【思路导引】作出函数y=tan|x|与y=tan x的图像,通过图像得出函数的性质.【解题策略】1.正切函数
6、的图像的作法 先画一个周期的图像,再把这一图像左、右平移.从而得到正切函数的图像,通 过图像的特点,可用“三点两线法”,这三点是 ,(0,0),两线是直线x=为渐近线.(,1)4(,1)422.y=f(|x|)及y=|f(x)|图像的作法 利用图像中的对称变换法完成,即只需作出y=f(x)(x0)的图像,令其关于y轴对称便可以得到y=f(|x|)(x0)的图像;同理只要作出y=f(x)的图像,令图像“上不动,下翻上”便可得到y=|f(x)|的图像.【跟踪训练】作出函数y=|tan x|的图像,并根据图像判断其单调区间、奇偶性.【解析】由y=|tan x|得y=其图像如图.tan x,kxk,k
7、Z,2tan x,kxk,kZ.2 由图像可知,函数y=|tan x|是偶函数,单调递增区间为 (kZ),单调递减区间为 (kZ).k,k)2(k,k 2 类型三 正切函数的性质及应用(逻辑推理)角度1 单调性的应用 【典例】比较tan 1,tan 2,tan 3的大小.【思路导引】比较同名三角函数值的大小,实质上是将几个角利用周期性放在同一个单调区间内,利用单调性比较大小.角度2 性质的综合应用 【典例】已知f(x)=-atan x(a0).(1)判断f(x)在x 上的奇偶性.(2)求f(x)的最小正周期.(3)求f(x)的单调区间.(4)若a0,求f(x)在 上的值域.【思路导引】要判断函
8、数的奇偶性,应首先判断其定义域是否关于原点对称;求函数f(x)=-atan x(a0)的单调区间要分类讨论参数a的符号.,3 3,)4 2【解题策略】1.比较同名三角函数值的大小,实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内,利用单调性比较大小.2.对于形如y=tan(x+)(,为非零常数)的函数性质和图像的研究,应以正切函数的性质与图像为基础,运用整体思想和换元法求解.如果 0,一般先利用诱导公式将x的系数化为正数,再进行求解.【题组训练】1.的大小关系是_.【解析】因为0 ,所以 613tantan()55与 6tantan,55 13133tan()tantan.555 3525 3t
9、an0tan055，所以 答案:3613tantan,tan tan().5555即613tan tan()552.函数y=tan(2x+)图像的一个对称中心为 ,若-,则 的值为_.【解析】因为函数y=tan(2x+)的一个对称中心为 ,所以2 +=,kZ,所以=-,kZ.又因为-,(,0)3223k2k22322(,0)3所以当k=2时,=;当k=1时,=-.所以满足题意的为 或-.答案:或-363636【补偿训练】1.若x ,求函数y=tan2x+2tan x+2的最值及相应的x值.【解析】令t=tan x,因为x ,所以t-,1,y=t2+2t+2=(t+1)2+1,所以当t=-1,即
10、x=-时,ymin=1,当t=1,即x=时,ymax=5.,3 4,3 4 3442.已知函数f(x)=3tan .(1)求f(x)的最小正周期和递减区间.(2)试比较f()与f 的大小.x().64 3()2课堂检测素养达标 1.若 cos tan B.cos tan sin C.sin tan cos D.tan sin cos 【解析】选D.方法一:画出正弦曲线、余弦曲线、正切曲线进行比较.方法二:取特殊值 进行判断.4232.函数f(x)=tan 的递增区间是()A.(kZ)B.(k,k+)(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】选C.由k-x+k+(kZ),得k-xk+(kZ).(x)4(k,k)22 3(k,k)44 3(k,k)44 2423443.函数y=3tan 的对称中心的坐标是_.【解析】由x+=(kZ),得x=-(kZ),所以函数y=3tan 的对称中心的坐标是 (kZ).答案:(kZ)(x)33k2k23(x)3k(,0)23k(,0)234.利用函数图像解不等式-1tan x .【解析】作出函数y=tan x,x 的图像,如图所示.观察图像可得:在区间 上,自变量x应满足-x .由正切函数的周期性可知,不等式的解集为 33(,)2 2(,)2 2 46x|kxk,kZ.46