1、【名师解析】四川省南充市2015届高三第一次高考适应性考试数学（理）试题【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。【题文】第I卷选择题(满分50分)【题文】一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.设为虚数单位，则复数的实部和虚部分别是A.-1，B
2、.-1,1C.1，D.1,1【知识点】复数代数形式的运算.L4 【答案】【解析】B 解析：因为=，所以复数的实部和虚部分别是，故选B.【思路点拨】把复数化简后根据复数实部和虚部定义可得答案【题文】2.已知集合，则A.B.C.D.【知识点】集合及其运算.A1 【答案】 【解析】C 解析：由题意：，所以，故选C.【思路点拨】先解出集合N，再求出交集即可。【题文】3.“”是为奇函数的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充要条件.A2 【答案】【解析】A 解析：当时， 为奇函数；当为奇函数时，所以“”是为奇函数的充分而不必要条件，故选A.【思路点拨
3、】对两个条件进行双向判断即可。【题文】4.递增等差数列中，若，则取最小值时n等于A.4B.5C.6D.4或5【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n项和.D2 【答案】【解析】D 解析：因为该数列是递增等差数列，所以，由可解得：，根据等差数列的前n项和公式有，当或5时取最小值，故选D.【思路点拨】先由题意得到，再根据等差数列的性质得，最后结合二次函数的性质可得结果。【题文】5.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A.若，则lmB.若lm，则C.若lm，,则D.若,则【知识点】空间中线线、线面间的位置关系.G4 G5 【答案】【解析】A 解析：对于A，若，则lm，故A正确；对于B，
4、若lm，则或或，故B错误；对于C，若lm，,则或，故C错误；对于D，若,则或重合或异面；故D错误；故选A.【思路点拨】利用空间中线线、线面间的位置关系进行判断即可。【题文】6.若变量x，y满足约束条件则的最大值为A.B.0C.D.【知识点】简单的线性规划.E5 【答案】【解析】C 解析：根据x，y满足约束条件画出线性区域如下图：则线性目标函数过A时有最大值，最大值为。【思路点拨】先根据线性约束条件画出线性区域，再求出目标函数过A时取得最大值即可。【题文】7.已知角的终边经过点，则A.3B.C.D.【知识点】同角三角函数的基本关系式.C2 【答案】【解析】D 解析：因为角的终边经过点，所以，则，
5、故选D.【思路点拨】先根据已知条件得到，再化简代入即可得到结果。【题文】8.已知双曲线C的左、右焦点分别是M、N.正三角形AMN的一边AN与双曲线右支交于点B，且,则双曲线C的离心率为A.B.C.D.【知识点】双曲线的性质；余弦定理.C8 H6 【答案】【解析】B 解析：因为正三角形AMN，其边长MN=2c，设，则=2c，解得，根据双曲线的定义可得，在三角形AMN中，由余弦定理，整理得：，即，或 （舍去），故选B.【思路点拨】先利用已知条件得到三角形AMN的边长，再结合余弦定理即可。【题文】9.设是定义在R上的可导函数，当时，则关于的函数的零点个数为A.B.0C.2D.0或2【知识点】根的存在
6、性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性B9 B12 【答案】【解析】B 解析：由，得，当时，即，函数单调递增；当时，即，函数单调递减又，函数的零点个数等价为函数的零点个数当时，1，当时，1，所以函数无零点，所以函数g（x）=f（x）+x1的零点个数为0个故选B【思路点拨】由题意可得，进而可得函数单调性，而函数的零点个数等价为函数的零点个数，可得1，无零点【题文】10.已知函数，其中，且函数满足.若方程恰有5个根，则实数m的取值范围是A.B.C.D.【知识点】函数的周期性；根的存在性及根的个数判断B4 B9 【答案】【解析】A 解析：当x（1，1时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图象
7、如图所示，同时在坐标系中作出当x（1，3得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得，（9m2+1）x272m2x+135m2=0，令t=9m2（t0），则（t+1）x28tx+15t=0，由=（8t）2415t （t+1）0，得t15，由9m215，且m0得 m，同样由与第三个椭圆由0可计算得 m，综上可知m,故选A【思路点拨】根据对函数的解析式进行变形后发现当x（1，1，3，5，7，9上时，f（x）的图象为半个椭圆根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点把直线分
8、别代入椭圆方程，根据可求得m的范围【题文】第II卷（非选择题，满分100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.的展开式中，的系数等于_.（用数字作答）【知识点】二项式定理；二项式系数的性质.J3 【答案】【解析】120 解析：先利用二项式定理的展开式，令，则展开式中的系数为，展开式中的系数为，所以的展开式中，的系数为=120，故答案为120.【思路点拨】先把利用二项式定理的展开式求出的系数以及的系数，然后分别乘以2和-1再求和即可。【题文】12.执行下图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的P的值是_.【知识点】程序框图.L1 【答案】【解析】105
9、 解析：k,p的起始值为k=1,p=1,根据流程图的指向，第二次循环时k=3,p=1;第三次循环时k=5,p=3;第四次循环时k=7,p=15;此时输出p=105;故答案为105.【思路点拨】根据流程图的指向依次计算直到满足条件为止。【题文】13.南充市教科所派出4名调研员到3个县，调研该县的高三复习备考情况，要求每个县至少一名，则不同的分配方案有_种.【知识点】排列组合的应用.J2 【答案】【解析】36 解析：根据题意可得：,故答案为36.【思路点拨】 先把4名调研员分成3组，然后再分配即可。【题文】14.已知直线与圆交于不同的两点A，B，O是坐标原点，若圆周上存在一点C，使得ABC为等边三
10、角形，则实数m的值为_.【知识点】直线与圆的位置关系.H4 【答案】【解析】 解析：根据题意画出图形，连接OA,OB,作OD垂直于AB于D点，因为ABC为等边三角形，所以,由余弦定理知：，故,所以,所以O（0,0）到直线AB的距离，解得，故答案为。【思路点拨】先由圆心角与圆周角的关系得到，再利用余弦定理得到BD,最后借助于点到直线的距离公式可解得m即可。【题文】15.在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号).存在这样的直线，既不与坐标轴平行，又不经过任何整点；如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；直线l经过
11、无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线.【知识点】直线的一般式方程H1 【答案】【解析】 解析：令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；若k=，b=，则直线y=x+经过（1，0），所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1y2=k（x1x2），则（x1x2，y1y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，又通过上下平移得到y=k
12、x+b不一定成立则正确，不正确；令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确综上，命题正确的序号有：故答案为：【思路点拨】举一例子即可说明本命题是真命题；举一反例即可说明本命题是假命题；假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；根据为真命题，把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b，所以本命题为假命题；举一例子即可得到本命题为真命题【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
13、.【题文】16.（本小题满分12分）已知向量.令，（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时x的值.【知识点】的图像及性质.C4 【答案】【解析】（1）;（2）当时，函数取得最小值.解析：2分 5分 （1）由最小正周期公式得： 6分 （2），则 令，则， 从而在单调递减，在单调递增 10分 即当时，函数取得最小值 12分【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开，再利用辅助角公式进行化简，（1）由最小正周期公式得结果；（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。【题文】17.（本小题满分12分）第十七届亚运会于2014年9月19日至10月4日在韩国仁川举行.为了搞好
14、接待工作，组委会在首尔大学某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者从事礼宾接待和语言翻译工作，将这30名志愿者的身高（单位：cm）编成茎叶图（如图所示）：组委会安排决定：身高175cm以上（包含175cm）的志愿者从事礼宾接待，身高在175cm以下的志愿者从事语言翻译.（I）如果从分层抽样的方法从从事礼宾接待的志愿者和从事语言翻译的志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，那么至少有一人是从事礼宾接待的志愿者的概率是多少？（II）若从所有从事礼宾接待的志愿者中随机选3名志愿者，用表示从事礼宾接待的志愿者中女志愿者的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望.【知识点】茎叶图；对立事件的概率；离散
15、型随机变量的分布列及期望.K5 K6 【答案】【解析】（I）（II）分布列见解析，1.解析：（I）根据茎叶图，有从事礼宾接待的志愿者12人，有从事语言翻译的志愿者18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是。所以抽中的从事礼宾接待的志愿者有人，从事语言翻译的志愿者有人。用事件表示“至少有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，则它的对立事件表示“没有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，则6分（II）由题意：的可能取值为0，1，2，3. 则, ,因此，故12分【思路点拨】（I）先用分层抽样的方法，计算出每个人被抽中的概率，再利用对立事件的概率和为1可求得结果；（II）由题意分别计算出取值为0，1，2，
16、3时各自的概率，然后列出分布列并求出期望。【题文】18.（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（I）证明：BN平面C1B1N;（II）设直线C1N与CNB1所成的角为，求的值.【知识点】线面垂直的判定定理；线面角.G5 G11 【答案】【解析】（I）见解析；（II）。 解析：（1）证明：方法一：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则,且在面内，易证为直角。 , ,方法二：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 则,两两垂直。以,分别为,
17、轴建立空间直角坐标系，则,，,6分(2)方法一：利用等体积法可求到面的距离为， 则直线与平面所成的角的正弦值为，从而方法二：设为平面的一个法向量，则 即，令，则。又则,从而12分【思路点拨】（I）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；（II）先利用等体积法可求到面的距离。【题文】19.（本小题满分12分）已知递增等差数列中的是函数的两个极值点.数列满足，点在直线上，其中是数列的前n项和.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.【知识点】利用导数求函数的极值；等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和.B12 D2 D3 D4 【答案】【解析】（1），（
18、2） 解析：（1），则. 因为，是函数的两个极值点，则 ，解得：或.又等差数列递增，则，所以. 3分因为点在直线上，则。当时，即.当时， ，即.所以数列为首项为，公比为的等比数列，即.6分(2)由（1）知：且，则 所以 . -得：.所以. 12分【思路点拨】（1）先对原函数求导得到极值点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可。【题文】20.（本小题满分13分）已知椭圆C的短轴长为2，离心率为.直线与椭圆C交于A，B两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线通过点，证明：；（3）在（2）的前提下，求AOB（O为原点）面积的最大值.【知识点】椭圆的
19、标准方程；直线与椭圆的综合应用.H5 H8 【答案】【解析】（1）；（2）见解析；（3） 解析：（1）设椭圆的标准方程 由已知可得 解得. 故椭圆的标准方程.4分（2）联立方程，消得：. 当，即时，.所以，.又，化简整理得：. 9分 (3)代入得：.又原点到直线的距离为.所以.而且，则.所以当，即时，取得最大值. 13分【思路点拨】（1）利用待定系数法求出a,b的值即可求出椭圆的标准方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立，转化成关于x的一元二次方程利用根与系数的关系即可证明；（3）借助于弦长公式表示出三角形的面积公式，再求出面积的最大值即可。【题文】21.（本小题满分14分）已知函数.（1）当时
20、，求函数的单调区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：（其中，e是自然对数的底数）.【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式恒成立问题；不等式的证明.B12 【答案】【解析】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）；（3）见解析. 解析：（1）当时， 由解得，由解得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 4分（2）当时，不等式恒成立，即恒成立.设，只需即可. ）当时，函数在上单调递减，故成立. ）当时，由，则或若，函数在上单调递增，则函数在上无最大值，不满足条件.若，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在上无最大值，不满足条件.）当时，由，函数在上单调递减，故成立.综上：实数的取值范围是. 9分（3）由（2）知，当时，且. .所以， 14分【思路点拨】（1）当时，然后求导，借助于的符号判断单调区间；（2）当时，不等式恒成立，即恒成立. 设，只需即可.,然后对a分类讨论即可；（3）借助于时，且.证明即可。
