1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式x22x的解集是()A.x|x2 B.x|x2C.x|0x2 D.x|x0或x22.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是()A.MN B.MN C.MN D.MN3.已知实数0a1aa-a B.aa21a-aC.1aaa2-a D.1aa2a-a4.设a-1,则关于x的不等式a(x-a)x-1a0的解集为()A.x|x1aB.x|xaC.x|xa或x1aD.x|x1a5.关于x的不等式mx2+2m
2、x-10恒成立的一个充分不必要条件是()A.-1m-12B.-1m0 C.-2m1 D.-3mbac2bc2B.acbc,c0ab3,ab01ab2,ab01a0,y0,且1x+3+1y=12,则x+y的最小值为()A.5 B.6 C.7 D.88.设正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值是()A.0 B.1 C.94 D.3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知不等式ax2+bx+c0的解集为x|-12x0B.b0
3、C.c0D.a+b+c010.设a,b为非零实数,且aab B.a2b2C.1ab21a2bD.a3yt2;xtyt;x2y2;01xy的充分条件的是()A.B.C.D.12.若a0,b0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A.a2+b28B.1ab14C.ab2D.1a+1b1三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知ab,a-1ab-1b同时成立,则ab应满足的条件是.14.若不等式ax2+5x+c0的解集为x|13xb,不等式ax2+2x+b0对一切实数x恒成立.若存在x0R,使ax02+2x0+b=0成立,则a2+b2a-b的最小值为.四、
4、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解下列不等式(组):(1)x(x+2)0,x21;(2)6-2xx2-3x0,b0,且(a+b)ab=1.(1)求1a3+1b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为63?并说明理由.19.(本小题满分12分)已知命题p:xR,x2+2m-30,命题q:xR,x2-2mx+m+20.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛AB
5、CD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若不等式y-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-20,MN.故选A.3.C0a1,0a21,-1-a0,0a2aa2-a.故选C.4.Aa-1,a(x-a)x-1a0.aa,x1a或xa,原不等式的解集为x|x1a
6、,故选A.5.A当m=0时,原不等式可化为-10,显然成立;当m0时,原不等式恒成立需满足m0,=4m2+4m0,解得-1m0.综上可得原不等式恒成立的充要条件为-1m0.结合选项,可知关于x的不等式mx2+2mx-10恒成立的一个充分不必要条件是-1mb可得ac2bc2,故A中说法正确;对于B,由acbc,得ac-bc=a-bc0,当c0时,有a-b0,则ab3,ab0,a3b3两边同乘1a3b3,得到1b31a3,1ab2,ab0,a2b2两边同乘1a2b2,得到1b21a2,不一定有1a0,y0,x+10,由1x+3+1y=12得y=2x+6x+1,x+y=x+2x+6x+1=x+2(x
7、+1)+4x+1=x+2+4x+1=(x+1)+4x+1+12(x+1)4x+1+1=5,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立,x+y的最小值为5.8.B由题意得xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-314-3=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故2x+1y-2z=-1y2+2y=-1y-12+11,当且仅当y=1时,等号成立,故所求的最大值为1.二、多项选择题9.BCD因为不等式ax2+bx+c0的解集为x|-12x2,故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a0,故A错误;易知2和-12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则有c
8、a=2-12=-10,又a0,c0,故B,C正确;因为ca=-1,所以a+c=0,又b0,所以a+b+c0,故D正确.故选BCD.10.CD对于A,当a=2,b=3时,ab,但2223,故A中不等式不一定成立;对于B,当a=-2,b=1时,a12,故B中不等式不一定成立;对于C,ab,1ab2-1a2b=a-b(ab)20,故C中不等式恒成立;对于D,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)a+12b2+34b2,ab,a-b0,a3yt2可知,t20,所以xy,因此xt2yt2是xy的充分条件.由xtyt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小,故xtyt不是xy的充分条件.
9、令x=-2,y=1,则x2y2,但xy2不是xy的充分条件.由01x0,y0,1x-1y0,即y-xxy0,所以y-xy,因此01xy的充分条件.故选AD.12.AB因为a0,b0,且a+b=4,所以a2+b2(a+b)22=8,即a2+b28恒成立,故A正确;由aba+b2=2得,0ab4,所以1ab14,0ab2恒成立,故B正确,C错误;由1a+1b=a+bab=4ab,0ab4,得1a+1b1,故D错误.故选AB.三、填空题13.答案ab0解析因为a-1ab-1b,所以a-1a-b-1b=(a-b)(ab+1)ab0.又ab,即a-b0,所以ab+1ab0,从而ab(ab+1)0,所以a
10、b0.14.答案-6;-1解析由题意知a0,且关于x的方程ax2+5x+c=0的两个根分别为13,12,由根与系数的关系得-5a=13+12,ca=1312,解得a=-6,c=-1.15.答案m|1m0恒成立.当m2+4m-50时,根据题意得,m2+4m-50,16(1-m)2-12(m2+4m-5)0,m1,1m19,解得1m19.综上可知,1m0,4-4ab0a0,ab1.又存在x0R,使ax02+2x0+b=0成立,4-4ab0ab1,因此ab=1,且a0,从而b0.又ab,a-b0,a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b22,当且仅当a-b=2,即a=6+2
11、2,b=6-22时,等号成立.四、解答题17.解析(1)由x(x+2)0,x21,得x0,-1x1,故0x1,所以原不等式组的解集为x|0x1.(4分)(2)由6-2xx2-3x18,得6-2xx2-3x,x2-3x18,即x2-x-60,x2-3x-180,(7分)所以x-2或x3,-3x6,所以-3x-2或3x6.所以原不等式的解集为x|-3x-2或3x0,b0,且(a+b)ab=1,a+b=1ab,(1分)又a+b2ab(当且仅当a=b时取等号),(2分)1ab2ab,ab12.(3分)(1)1a3+1b321a31b3=2abab42,当且仅当a=b时取等号.(6分)(2)a0,b0,
12、12a+13b212a13b=26ab233,当且仅当2a=3b时等号成立.(10分)633-2m对xR恒成立,因此3-2m32.因此,实数m的取值范围是m|m32.(4分)(2)若命题q为真命题,则=(-2m)2-4(m+2)0,即m2-m-20,解得m2.因此,实数m的取值范围是m|m2.(8分)(3)若命题p,q至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得mm|m32m|m2=m|m32.(12分)20.解析(1)设DN的长为x(x0)米,则AN的长为(x+2)米.DNAN=DCAM,AM=3(x+2)x,S矩形AMPN=ANAM=3(x+2)2x.(4分)由S矩形AMPN32,得3(x+2
13、)2x32,又x0,3x2-20x+120,解得0x6,(7分)即DN的长(单位:米)的取值范围是x0x6.(8分)(2)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,则y=3(x+2)2x=3x2+12x+12x=3x+12x+1223x12x+12=24,(10分)当且仅当3x=12x,即x=2(负值舍去)时,等号成立,此时y取得最小值24.(11分)故DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小为24平方米.(12分)21.解析(1)ax2+(1-a)x+a-2-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a0对一切实数x恒成立.当a=0时,不等式可化为x0,不满足题意;(3分)当a0时
14、,由题意得a0,(1-a)2-4a20,解得a13.(5分)所以实数a的取值范围是a|a13.(6分)(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2a-1等价于ax2+(1-a)x-10.当a=0时,不等式可化为x1,所以不等式的解集为x|x0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)0,此时-1a1,所以不等式的解集为x-1ax1;(8分)当a0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)0,当a=-1时,-1a=1,不等式的解集为x|x1;(9分)当-1a1,不等式的解集为x|x-1a;(10分)当a-1时,-1a1,不等式的解集为x|x1.(11分)综上所述,当a-1时,不等式的解集为x|x1;当a=-
15、1时,不等式的解集为x|x1;当-1a0时,不等式的解集为x|x-1a;当a=0时,不等式的解集为x|x0时,不等式的解集为x-1ax1.(12分)22.解析(1)由题意可得,每年产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件销售价为32Q+3Q150%+xQ50%万元,年销售收入为32Q+3Q150%+xQ50%Q=32(32Q+3)+12x,(4分)W=32(32Q+3)+12x-(32Q+3)-x=12(32Q+3)-12x=12(32Q+3-x)=-x2+98x+352(x+1)(x0).(7分)(2)由(1)得,W=-x2+98x+352(x+1)=-(x+1)2+100(x+1)-642(x+1)=-x+12-32x+1+50.(9分)x+11,x+12+32x+12x+1232x+1=8,(10分)W42,当且仅当x+12=32x+1,即x=7时,W有最大值42,即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为42万元.(12分)