1、吉林省油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考（第二周）试题 理注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1用列举法表示集合，则下列表示正确的是（ ）ABCD【答
2、案】B【解析】解方程组，得，所以，故选B2已知，则的值为（ ）A1BCD81【答案】C【解析】由，令，可得，故选C3设复数：，其中为虚数单位，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，故选A4已知，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】B【解析】若，时，则A不正确；因为为增函数，所以，则B正确；因为为减函数，由可得，所以C不正确；当，时，所以D正确，故选B5已知则，则（ ）AB1C2D4【答案】C【解析】，所以，故，故选C6据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级若给有巨大贡献的3人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为
3、（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，每个人被封爵都有5种情况，因此对3人封爵，共有种，3人中恰好有两人被封同一等级共有种情况，则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为，故选D7P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线的方程为，分别是双曲线的左右焦点，若，则（ ）A12B16C18D20【答案】A【解析】不妨设，因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以，即，所以双曲线的方程为，所以点，所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得点的纵坐标为，所以，故选A8已知一组鞋码与身高的数据(x表示鞋码，y(cm)表示身高)，其中x4041424344y172175mn183若用此数据由最小二乘法计算得到回归直线，则实
4、数（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意可知，将代入回归直线可得，故选B9在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则（ ）AB4CD【答案】A【解析】由，利用正弦定理得，利用，则，即，得，故选A102020年5月5日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是一定流速的风流经桥面时，产生了卡门涡街现象卡门涡街是流体力学中重要的现象，在自然界中常可遇到，在工业生产中也有很多成功的应用比如在工业中广泛使用的卡门涡街流量计，就是利用卡门涡街现象制造的一种流量计在流体中设置旋涡发生体(也称阻流体)，从旋涡发生体两侧交替地产生有规则的旋涡，这种旋涡称为卡门涡街设旋涡的发生频率为f(单位：赫兹)，旋涡发生体
5、两侧平均流速为(单位：米/秒)，漩涡发生体的迎面宽度为d(单位：米)，表体通径为D(单位：米)，旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为m，根据卡门涡街原理，满足关系式：，其中：称为斯特罗哈尔数对于直径为d(即漩涡发生体的迎面宽度)的圆柱，设，当时，在近似计算中可规定已知某圆柱形漩涡发生体的直径为001米，表体通径为10米，在平均流速为20米/秒的风速下，发生的频率为420赫兹，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题设可得，此时，故，而，所以，故选C11已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】设，由，当时，；当时，则在上单调递减，在上单调递增，由二次函数的性质可知，在上单
6、调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以为偶函数由可知，即，解得，故选D12如图，在棱长为1的正方体中，点M是线段上的动点，下列四个结论： 存在点M，使得平面；存在点M，使得的体积为；存在点M，使得平面交正方体的截面为等腰梯形；若，过点M作正方体的外接球的截面，则截面的面积最小值为则上述结论正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】对于，连接，如图， 由正方体的几何特征可得平面平面，令平面，则平面，所以存在点M，使得平面，故正确；对于，所以不存在点M，使的体积为，故错误；对于，因为平面，所以平面交平面的交线与平行，由正方体的几何特征可得存在点M，使截面为等腰梯形，故正确；对
7、于，当且仅当M为截面圆的圆心时，截面圆的面积最小，由正方体的几何特征可得该正方体的外接球球心为的中点，且半径为，所以最小截面的半径，此时截面面积为，故错误，故选B 第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知向量，的夹角为，则_【答案】【解析】因为向量，的夹角为，所以，所以，所以，故答案为14已知圆锥的母线长为，且母线与底面所成角为，则圆锥的体积为_【答案】【解析】因为圆锥的母线长为，母线与底面所成角为，所以圆锥的底面半径及高满足，所以圆锥的体积，故答案为15已知，B分别是椭圆的左焦点和上顶点，点O为坐标原点过点垂直于x轴的直线交椭圆C在第一象限的交点为P，且，则椭圆C的离心率为_【答案
8、】【解析】由题意得：，把点代入椭圆方程得，点坐标为，得，即，两边同除以得，解得，故答案为16水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，则函数的解析式为_，当时，函数的最大值是_ 【答案】，4【解析】，则，又，所以，当，所以，时，取得最大值为故答案为；4 三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知数列的前n项和，其中（1）求数列的通项公式；（2）若为等比数列的前三项
9、，求数列的通项公式【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，当时，所以数列的通项公式为（2）由题意可得，因为为等比数列，所以，解得或0(舍)，所以等比数列的前3项为4，8，16，所以的公比，所以数列的通项公式为18（12分）如图，直三棱柱中，、分别为、的中点 （1）证明：平面；（2）若直线与所成的角为，求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取中点，连接、，为的中点，在直三棱柱中，平面，平面，平面、分别为、中点，为中点，四边形为平行四边形，所以平面（2）设，为异面直线、所成的角，以为坐标原点，以、所在的直线分别为、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，设平面的法向量为，由，
10、可得，令，则，所以，平面的一个法向量；设平面的法向量为，由，可得，令，则，所以，平面的法向量为，设二面角的大小为，所以19（12分）新型冠状病毒肺炎(简称新冠肺炎)是由严重急性呼吸系统综合症冠状病毒2感染后引起的一种急性呼吸道传染病，临床表现为发热乏力咳嗽和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，新冠肺炎疫情得到了控制我国科研人员也在积极研究新冠肺炎的疫苗，在研究中利用小白鼠进行科学试验，为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现呼吸困难症状(记为H症状)的情况，决定对小白鼠进行接种试验，该试验的要求为：对参加试验的每只小白
11、鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期；试验共进行3个周期已知每只小白鼠接种后当天出现H症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现H症状与上次接种无关（1）若某只小白鼠出现H症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次H症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期为X，求X的分布列及数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为【解析】（1）已知每只小白鼠接种后当天出现H症状的概率均为，且每次试验间相互独立，所以一只小白鼠第一天接种后当天出现H症状的概率为，第二天接种后当天出现H症状的概率
12、为，第三天接种后当天出现H症状的概率为，所以一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为（2）设事件A为“一个周期内出现2次或3次H症状”，则，随机变量X可能的取值为1，2，3，则，所以X的分布列为X123P所以随机变量X的数学期望为20（12分）已知抛物线的焦点为F，B，C为抛物线C上两个不同的动点，(B，C异于原点)，当B，C，F三点共线时，直线BC的斜率为1，（1）求抛物线T的标准方程；（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）设直线BC的方程为，则，设，则，所以抛物线T的标准方程为（2）令，则，则，直线BC的方程为，令直线
13、BC与y轴交于点H， 则，所以，所以或0(舍)，令BC中点为，则，所以中点轨迹方程21（12分）已知函数（1）求曲线在处的切线方程，并证明：；（2）当时，方程有两个不同的实数根，证明：【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1），所以，即切线方程下证：，令，因为，显然在单调递增，所以易得在递减，递增，所以，所以（2），则为方程的两根，不妨设，显然在时单调递增，由，所以存在，使，当，递减；，递增，由（1）得，所以，要证：，需证：，即证：，因为：，所以，即证：，即：，令，显然在单调递增，且，因为在单调递增，所以，即不等式成立 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
14、第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）求曲线与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线与曲线交于，两点，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于的极坐标方程为，根据互化公式得，曲线的直角坐标方程为：当时，当时，则曲线与极轴所在直线围成的图形，是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，围成图形的面积 （2）由，得，其直角坐标为，化直角坐标方程为，化直角坐标方程为，23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知，（1）若，求的最小值；（2）求证【答案】（1）9；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以，当且仅当，时取最小值9（2）因为，要证，只需证，而，当且仅当“”时取等号，即证：
