1、6 余弦函数的图像与性质 必备知识自主学习 1.余弦函数图像的画法(1)变换法:y=sin x图像向左平移_个单位即得y=cos x的图像.(2)五点法:利用五个关键点(0,1),(,-1),_,(2,1)画 出0,2 上的图像,再左右扩展即可.导思1.画余弦函数图像的方法有哪些?2.利用“五点法”画余弦函数的图像,五个关键点分别是哪五个?3.余弦函数的性质有哪些?2(0)2，3(0)2，【思考】类比正弦函数,画余弦函数的图像还有其他方法吗?提示:借助正弦函数图像左右平移.2.余弦函数的性质 函数 性质 余弦函数y=cos x图像 定义域R值域_-1,1 函数 性质 余弦函数y=cos x最值
2、当x=2k(kZ)时,ymax=_ 当x=(2k+1)(kZ)时,ymin=_周期性是周期函数,最小正周期为_奇偶性是偶函数,图像关于_对称单调性在(2k-1),2k(kZ)上是_ 在2k,(2k+1)(kZ)上是_1-1 2 y轴 增加的 减少的【思考】如何理解余弦函数的图像与性质?提示:借助正弦函数的图像与性质,类比推理,可得余弦函数的图像与性质.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)用“五点法”作正、余弦函数的在0,2 上的图像所取的五点的坐标相同.()(2)函数y=sin x向右平移 个单位可得到函数y=cos x的图像.()(3)余弦函数y=cos x在第一象限内是
3、减少的.()322.对于余弦函数y=cos x的图像,有以下描述:向左、向右无限伸展;与y=sin x的形状完全一样,只是位置不同;与x轴有无数个交点;关于y轴对称.其中描述正确的是_.【解析】由函数y=cos x的图像可知都正确.答案:3.(教材二次开发:练习改编)函数y=2cos x-1的最大值、最小值分别为_.【解析】因为-1cos x1,所以-22cos x2,所以-32cos x-11,所以最大值为1,最小值为-3.答案:1,-3 关键能力合作学习 类型一 余弦函数的图像及应用(直观想象)【题组训练】1.画出函数y=-cos x,x0,2 的简图.2.画出y=cos x(xR)的简图
4、,并根据图像写出:(1)y 时x的集合.(2)-y 时x的集合.121232【解题策略】“五点法”画函数图像的三个步骤【补偿训练】1.作出函数y=1-cos x在-2,2 上的图像.x0 2y=cos x10-101y=1-cos x 1 1 【解析】列表:1313232234323作出y=1-cos x在x0,2上的图像.由于该函数为偶函数,作关于y轴对称的图像.从而得出y=1-cos x在x-2,2上的图像.13132.已知函数y=2cos x(0 x1 000)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是_.【解析】如图,y=2cos x的图像在0,2 上与直线y=2
5、围成封闭图形的面积为S=4,所以在0,1 000 上封闭图形的面积为4 500=2 000.答案:2 000 类型二 余弦函数的性质及应用(逻辑推理)角度1 单调性及应用 【典例】(1)函数y=1-2cos x的单调增区间是_.(2)比较大小:cos _cos .【思路导引】(1)y=1-2cos x的单调性与y=-cos x的单调性相同,与y=cos x的 单调性相反.(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较.26313()3【变式探究】(1)比较大小:cos 与cos .(2)求函数y=的增区间.23()517()412logcos 2x 角度2 余弦函数的值域(最值)【典例】求
6、下列函数的最值.(1)y=-cos2x+cos x.(2)y=3cos2x-4cos x+1,x .【思路导引】本例题中的函数可以看作是关于cos x的二次函数,可以化归为 利用二次函数求最值的方法求解.2,33【解题策略】1.形如y=acos x+b(a0)函数的单调区间(1)当a0时,其单调性与y=cos x的单调性一致.(2)当a 的解集为()A.B.C.(kZ)D.(kZ)3(0,)2(,)6 6(2k,2k)6(2k,2k)662.函数y=的值域为_.【解析】y=-1.因为-1cos x1,所以12+cos x3,所以 1,所以 4,所以 -13,即 y3.所以函数y=的值域为 .答
7、案:2cos x2cos x42cos x42cos x2cos x1312cos x4342cos x1342cos x132cos x2cos x1,331,333.比较下列数值的大小:cos _cos (填,475745f()f(),774 5cos cos.774.已知函数y=acos x+b的最大值是0,最小值是-4,求a,b的值.【解析】当a0时,解得 当a0时,所以a=2,b=-2或a=-2,b=-2.ab0,ab4,a2,b2,ab0,a2,ab4,b2.解得【补偿训练】函数y=2-cos x的单调递减区间是()A.k+,k+2(kZ)B.2k-,2k(kZ)C.(kZ)D.2
8、k,2k+(kZ)2k,2k2 课堂检测素养达标 1.函数y=cos 2x,x0,2 的简图是()【解析】选D.由2x=0,2 可得五点,描点知,A为x0,上的 简图;D为x0,2 上的简图.2322.函数y=|cos x|-1的最小正周期是()A.2k(kZ)B.3 C.D.2 【解析】选C.因为函数y=|cos x|-1的周期与函数y=|cos x|的周期一致,由函数y=|cos x|的图像知其最小正周期为,所以y=|cos x|-1的最小正周期 也是.3.(教材二次开发:例题改编)函数y=cos x-1,x0,2 的图像与直线 y=-的交点有_个.【解析】作y=cos x-1,x0,2 的图像及直线y=-,知有2个交点.答案:2 12124.函数y=的定义域是_.【解析】由题意知1+cos x0,即cos x-1,结合余弦函数图像知x|x2k+,kZ.答案:x|x2k+,kZ cos x1cos x5.画出y=1-3cos x在0,2 上的简图,并指出其最值和单调区间.【解析】列表:x0 2cos x10-1011-3cos x-2141-2232 图像如图所示:由图像可知,函数y=1-3cos x在0,2上的最大值为4,最小值为-2,单调增区间为0,减区间为,2.