1、4.4 单位圆的对称性与诱导公式 必备知识自主学习 1.角的终边的对称性(1)角 与-的终边关于_对称.(2)角 与 的终边关于_对称.(3)角 与-的终边关于_对称.导思 1.如何寻找角的终边的对称关系?2.如何识记诱导公式?x轴 原点 y轴【思考】如何寻找角的终边的对称关系?提示:将角 视作一个锐角,作出终边,再寻找角-或+等的终边,观察即可.2.正弦函数和余弦函数的诱导公式【思考】诱导公式有何记忆技巧?提示:对诱导公式的记忆【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)若+=,则 与 的终边关于y轴对称.()(2)对于kZ,cos =sin 一定成立.()(3)诱导公式中的角
2、只能是锐角.()提示:(1).借助单位圆可知正确.(2).由诱导公式可知结论不正确.(3).诱导公式中的角可以是任意角,在应用口诀时,把它看作锐角分析.k2 （）2.下列等式:sin(360+300)=sin 300;cos(180-300)=cos 300;cos(300)=cos 300.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】选C.符合诱导公式,均正确,中cos(180-300)=-cos 300.3.(教材二次开发:练习改编)已知cos(+)=-,则sin =_.【解析】cos(+)=-cos=-,所以cos=.所以sin =cos=.答案:122 （）12122
3、 （）1212关键能力合作学习 类型一 给角求值(逻辑推理、数学运算)【题组训练】1.求下列三角函数值.(1)sin 495cos(-675).(2).(nZ)2sin(2n 1)32.求下列三角函数值.【解析】42510291 sincos2 sincos.3636；（）4251 sincossincos43636（）（）333sincos.362244 54sin2cossincos3636（）（）10291052 sincossin cos43636（）（）33sincossincos0.363622 （）【解题策略】利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为:可简记
4、为:负化正,大化小,化成锐角再求值.类型二 给值求值(数学运算)【典例】1.已知cos(+)=-,则cos（-）=_.2.已知cos =,求cos sin =_.【思路导引】分析角的关系、选择适当的诱导公式求解.126（）1356 （）23 （）【解题策略】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.【跟踪训练】已知 的值.【解析】因为 所以 32cos,sin653 （）求（）2,362 （）23sinsincos.36265 （）（）（）类型三
5、利用诱导公式化简(数学运算)角度1 化简三角函数式 【典例】化简下列各式.(1)(2)3cos(2)sin(3)cos2.coscos(3)sin()2（）（）4n14n1cosxcosx(nZ)?44（）（）【思路导引】(1)直接利用诱导公式分别化简分子和分母,约分即可化简三角函数式.(2)讨论n是奇数还是偶数,利用诱导公式化简三角函数式.【变式探究】化简:.【解析】原式=cos180sin360sin180cos180 （）（）（）（）cossinsin180cos180 （）（）sin cossin180cos180 （）（）sin cos1.sincos（）（）角度2 先化简再求值 【
6、典例】已知sin(-3)=2cos(-4),求 的值.【思路导引】利用诱导公式对已知条件和所求式子化简,然后再求值.sin5cos232sinsin2 （）（）（）（）角度3 利用诱导公式证明 【典例】求证:【证明】左边=右边,所以原式得证.2cos()cos(2)2.331 coscos sin1cos()sin()sin()222 （）coscoscos(cos1)cos coscos 111 cos1 cos1 cos1 cos(1 cos)(1 cos)221 cos【解题策略】1.所谓化简,就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能简单,也就是项数尽可 能少,次数尽可能低,函数的种类尽可
7、能少,分母中尽量不含三角函数符号,能 求值的一定要求值.利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择,当三角函数式 中含有k ,(kZ)时,要注意讨论k为奇数或偶数.k22.利用诱导公式证明等式问题,常用方法有:(1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简.(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子.【题组训练】1.若sin =,则cos 的值为()【解析】选C.因为sin=,所以cos =-sin=-.12()2 1313A.B.C.D.222212()2 122.若sin(+)+cos =-m,则cos +2sin(2-)的值为()【解析】选C.因为sin(+)+cos
8、 =-sin-sin=-m,所以sin=,所以cos +2sin(2-)=-sin-2sin=-3sin=-m.()2 3()2 2m2m3m3mA.B.C.D.3322()2 m23()2 323.已知角 的终边经过点P(2,-3),求 的值.【解析】由角的终边经过点P(2,-3),可知sin=-6 sin3 cossin3,1336()26sin13cos,2.233cossin1331313 则课堂检测素养达标 1.当 R时,下列各式恒成立的是()A.sin =-cos B.sin(-)=-sin C.cos(+)=cos D.cos(-)=cos 【解析】选D.由诱导公式知D正确.()2 2.cos 的值是()【解析】选D.233311A.B.C.D.222221coscos(cos.3332)3.(教材二次开发:练习改编)已知 则cos =_.【解析】cos =cos =-cos =-.答案:-3(),63 5(cos)6 5(cos)6()6()6 33334.计算:【解析】原式=1921sincossin.4645sincos(3)sin(4)464sincos()sin()464sin(cos)sin4642323.2224（）（）（）