1、第八章章末检测 (时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线l与平面不平行，则()Al与相交BlCl与相交或lD以上结论都不对【答案】C2下列说法正确的是()A经过三点确定一个平面B各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D一个三棱锥四个面可以都为直角三角形【答案】D3棱长为2的正方体的内切球的表面积为()A4B C8D32【答案】A4已知，表示不同的平面，m，n是不同的两条直线，则下列命题中正确的是()A，m，nmnB，C，m，nmnD，mm【答案】D5如图，若，A，C
2、，B，D，且ABCD28，AB，CD在内的射影长分别为9和5，则AB，CD的长分别为()A16和12B15和13C17和11D18和10【答案】B6在正方体ABCDA1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为()A平行四边形B菱形 C矩形D梯形【答案】A7(2021年焦作模拟)已知正四棱锥PABCD的底面正方形的中心为O，若高PO，PAO45，则该四棱锥的表面积是()A42B44 C42D44【答案】D【解析】由题意知，PO面ABCD，POOA.PAO45，PAO为等腰直角三角形，AOPO，PBPAPO2，ABAO2，
3、正四棱锥PABCD的四个侧面均是边长为2的等边三角形，底面是边长为2的正方形，表面积S422244.故选D.8(2021年太原月考)九章算术是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积(单位：平方丈)为()A B C D【答案】B【解析】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则有2r2,2R3，解得r，R，又圆台的高为1丈，所以圆台的母线长为l，所以圆台的侧面积为S(Rr)l.故选B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选
4、项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.(2021年武汉模拟)如图是一个正方体的平面展开图，下列关于原正方体的判断正确的是()AEBAGBBH平面EDGCDH平面EDGD平面ACH平面EBG【答案】ABD【解析】由正方体的平面展开图可得，该正方体的直观图如图所示，因为EB，AF分别为正方形ABFE的对角线，所以EBAF，又AD平面ABFE，且EB平面ABFE，所以EBAD，又ADAFA，AD，AF平面ADGF，则EB平面ADGF，又AG平面ADGF，所以EBAG，故选项A正确；由选项A可知，同理可得ED平面ABGH，又BH平面ABGH，所以EDBH，同理可
5、得EGBH，又EDEGE，ED，EG平面EDG，所以BH平面EDG，故选项B正确；因为DH平面EFGH，而平面EFGH与平面EDG相交于直线EG，所以DH不可能垂直平面EDG，故选项C错误；由ACEG，且AC平面EBG，EG平面EBG，则AC平面EBG，同理可证AH平面EBG，又ACAHA，AC，AH平面ACH，故平面ACH平面EBG，故选项D正确故选ABD.10如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是() APCBCBAC平面PBCC平面PAB平面PBCD平面PCB平面PBC【答案】AD【解析】由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C
6、是圆上异于A，B的任一点，在A中，BCAC，BCPA，ACPAA，BC平面PAC，PCBC，故A正确；在B中，PAAC，ACPCC，PCA，AC与PC不垂直，AC与平面PBC不垂直，故B错误；在C中，PAB是固定的平面，PBC是移动的平面，平面PAB和平面PBC不垂直，故C错误；在D中，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PAC平面PBC，故D正确故选AD.11已知两条直线l，m及三个平面，下列条件中能推出的是()Al，lBl，m，lmC，Dl，m，lm【答案】ABC【解析】对于D，与有可能平行或相交，不能推出.易判断A，B，C都能推出.故选ABC.12已知圆锥的底面半径为1，高为2，S为顶点
7、，A，B为底面圆周上两个动点，则()A圆锥的体积为2B圆锥的侧面展开图的圆心角大小为C圆锥截面SAB的面积的最大值为2D从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为3【答案】BCD【解析】因为圆锥的底面半径为1，高为2，所以圆锥的母线长SM3，对于A，圆锥的体积V122，故A错误；对于B，设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，则213，故B正确；对于C，当圆锥截面SAB为圆锥的轴截面时，其面积最大，最大值为222，故C正确；对于D，从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为圆锥展开图中线段AA1的长度，AA12ASsin 603，故D正确故选BCD.三、填空题：本题共4小
8、题，每小题5分，共20分13在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA14，ABAC2，BAC90，点E，F分别是棱AB，CC1的中点，一只蚂蚁从E点出发，绕过三棱柱ABCA1B1C1的一条侧棱爬到点F处，则该蚂蚁爬行的最短路程是_【答案】【解析】由E到F有两种方法(方法一)将侧面B1BAA1展开到与平面A1ACC1在同一个平面，连接EF，可得EF.(方法二)将侧面B1BAA1展开到与平面B1BCC1在同一个平面，连接EF，可得EF.所以该蚂蚁爬行的最短路程是.14在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角ABDP的大小为_【答案】30【解析】作AOBD交BD于点O.PA平
9、面ABCD，PABD.PAAOA，BD平面PAO，POBD，AOP即为所求二面角ABDP的大小AO，tanAOP，故二面角ABDP的大小为30.15一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为_【答案】【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则r2rl，即r2rl1.由圆心角公式，即l3r，解得r，l.所以高h.体积V2.16如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则水的体积为_，图1中容器内水面的高度是_【答案】a3a【解析】正三棱柱的底面边长为a，则底面积为Sa2，图2中水的体积即为
10、图1中容器内水的体积，设图2中未装水的体积为V空，则V水V柱V空a22aa22aa3.设图1中水面的高度为x，则a2xa3，得xa.四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？请说明理由(1)证明：由题设知，G，H是FA，FD的中点，所以GH綉AD.又BC綉AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形
11、(2)解：C，D，F，E四点共面理由如下：由BE綉FA，G是FA的中点，知BE綉GF.所以EF綉BG.由(1)知BGCH，所以EFCH.故EC，FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面18如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，AC交BD于O，PO平面ABC，E为AD的中点，点F在PA上，AP3AF.(1)证明：PC平面BEF；(2)若AB2，ADBBPD60，求三棱锥AEFB的体积(1)证明：设AO交BE于G，如图，连接FG.O，E分别是BD，AD的中点，G为ABD的重心，.又AP3AF，GFPC.又GF平面BEF，PC平面BEF，PC平面BEF.(2)解：在菱形ABCD中，A
12、B2，ADB60，ABD是边长为2的等边三角形，故SABE.BPD60，PO平面ABC，PO.故点F到平面ABC的距离等于PO，VFABE，即三棱锥AEFB的体积为.19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，D是AB中点(1)证明：AC1平面B1CD；(2)若ACB90，AA1BC，证明：平面A1C1B平面B1CD.证明：(1)如图，设BC1与B1C相交于点E，连接DE，由题意可得，D、E分别为AB、BC1的中点，所以DE是ABC1的中位线，所以DEAC1.因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1平面B1CD.(2)因为AA1底面A1B1C1，所以CC1底面A
13、1B1C1.所以CC1A1C1.因为ACB90，即A1C1B190，所以A1C1B1C1.又B1C1平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，所以A1C1平面BCC1B1.所以A1C1B1C.因为AA1BC，AA1CC1，所以CC1BC.在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1B1C1，所以四边形BCC1B1是正方形，所以BC1B1C.因为A1C1BC1C1，A1C1平面A1C1B，BC1平面A1C1B，所以B1C平面A1C1B.因为B1C平面B1CD，所以平面A1C1B平面B1CD.20如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直
14、线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值(1)解：因为ADBC，所以DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，AP，所以cos DAP.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明：因为AD平面PDC，所以ADPD.又因为ADBC，所以PDBC，又PDPB，BCPBB，所以PD平面PBC.(3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC
15、所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1.由已知得CFBCBF2.又ADCD，故BCCD.在RtDCF中，DF2.在RtDPF中，sinDFP.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，且PA底面ABCD.(1)求证：平面PAC平面PBD；(2)若E为棱BC的中点，在棱PA上求一点F，使BF平面PDE.(1)证明：在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，ACBD.PA底面ABCD，BD平面ABCD，PABD.PAACA，PA、AC平面PAC，BD平面PAC.BD平面PBD，平面PAC平面PBD.(2)解：如图，取PA中点F，PD中点
16、G，连接BF、GF、EG，E为棱BC的中点，FG綉AD，BE綉AD.FG綉BE，四边形BEGF是平行四边形BFEG.BF平面PDE，EG平面PDE，在棱PA上存在中点F，使BF平面PDE.22如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值(1)证明：由题意可知DD1E为等腰直角三角形，D1ED45.同理，C1EC45.所以DEC90，即DEEC.又BC平面D1DCC1，DE平面D1DCC1，所以BCDE.又ECBCC，所以DE平面EBC.因为DE平面DEB，所以平面DEB平面EBC.(2)解：如图所示，过E作EODC于点O，过O作OFDB于点F，连接EF.因为平面ABCD平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO平面ABCD，所以EOOF，EOBD.由BDOF，BDOE，得BD平面EFO.所以BDEF.所以EFO(或其补角)为二面角EDBC的平面角在RtEFO中，易求得OF，又OE1，所以tanEFO.所以二面角EDBC的正切值为.