1、第七讲抛物线ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_相等_；(3)定点F与定直线l的关系为_点Fl_知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)离心率e_1_准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|
2、PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0抛物线焦点弦的处理规律直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图(1)y1y2p2，x1x2(2)|AB|x1x2p，x1x22p，即当x1x2时，弦长最短为2p(3)(4)弦长AB(为AB的倾斜角)(5)以AB为直径的圆与准线相切(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90(7)A、O、D三点共线；B、O、C三点共线题组一走出误区1(多选题)下列结论正确的是(CD)A平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线B方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦
3、点坐标是(，0)，准线方程是xCAB为抛物线y22px(p0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2pD过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a题组二走进教材2(必修2P69例4)(2019甘肃张掖诊断)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于(B)A9 B8 C7 D6解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x22
4、83抛物线y4x2上的一点M到焦点F的距离为1，则点M的纵坐标是(B)A B C D0解析y4x2x2y抛物线准线方程为y.设M点坐标为(x0，y0)，则由抛物线定义可知y01，y0.故选B题组三考题再现4(2019课标全国)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p(D)A2 B3 C4 D8解析抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(，0)，椭圆1的一个焦点为(，0)，3pp，p8.故选D5(2019广东广州天河综合测试)已知抛物线C：y28x的焦点为F，直线y(x2)与C交于A，B(A在x轴上方)两点，若m，则实数m的值为(B)A B3 C2 D解析由得3x220x120，x
5、A6，xB，又m且F(2,0)，26m(2)，m3，故选BKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一抛物线的定义及应用多维探究角度1到焦点与到定点距离之和最小问题例1(2019江西赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为(D)A(0,0) B(，1)C(1，) D(2,2)解析如图，过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|MA|MN|MA|，所以当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M(2,2)角度2到准线与到定点距离之和最小问题例2已知圆C：x2y26x
6、8y210，抛物线y28x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d|PC|的最小值为(A)A B7 C6 D9解析由题意得圆的方程为(x3)2(y4)24，圆心C的坐标为(3，4)由抛物线定义知，当d|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d|PC|角度3到两定直线的距离之和最小问题例3(2019湖南省三湘名校联考)已知直线l1：x1，l2：xy10，点P为抛物线y24x上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为(B)A2 B C1 D解析抛物线y24x，其焦点坐标F(1，0)，准线为x1也就是直线l1，故P到直线l1的距离就是P到F的距离，如图所示，P到l1，l
7、2的距离之和的最小值等于焦点F到直线l2的距离设P到直线l2的距离为d，则d|PF|，当且仅当P，E，F三点共线时等号成立，故选B名师点拨 求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决变式训练1(1)(角度1)(2020吉林省吉林市调研)已知抛物线y24x的焦点F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF周长取最小值时，线段PF的长为(B)A1 B C5 D(2)(角度3)(2019上
8、海虹口区二模)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为(D)A B C2 D解析(1)求PAF周长的最小值，即求|PA|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|PD|，因此，|PA|PF|的最小值，即|PA|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|PD|最小，此时P(，3)，且|PF|1，故选B(2)直线l2：x1是抛物线y24x的准线，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，则点P到直线l2：x1的距离等于PF，过点F作直线l1：4x3y60的垂线，和抛物线的交点就是点P，所
9、以点P到直线l1：4x3y60的距离和到直线l2：x1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值为2，故选C考点二抛物线的方程及几何性质自主练透例4(1)(2019安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为(D)Ax28y Bx24yCx24y Dx28y(2)(2019江西省九校联考)抛物线yax2的焦点是直线xy10与坐标轴交点，则抛物线的准线方程为(D)Ax Bx1Cy Dy1(3)(2019山东菏泽期末)已知等边AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线：y22px(p0)上，且AOB的
10、面积为9，则p(C)A B3 C D2(4)已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线1的一个焦点重合，直线yx4与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于(B)A28 B32 C20 D40(5)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为(B)Ay2x By23xCy2x Dy29x解析(1)由题意可知抛物线的焦点在y轴负半轴上，故设其方程为x22py(p0)，所以35，即p4，所以所求抛物线方程为x28y，故选D(2)抛物线焦点在y轴上，即直线xy10与y轴的交点F(0,1)，1，抛物线方程为x24y，
11、准线方程为y1，故选D(3)根据抛物线和等边三角形的对称性，可知A，B两点关于x轴对称，不妨设直线OB：yx，与y22px联立，解得B(6p，2p)，故|AB|4p.因为AOB的面积为9，所以(4p)29，解得p.故选C(4)双曲线1的焦点坐标为(4,0)，故抛物线的焦点F的坐标为(4,0)因此p8，故抛物线方程为y216x，易知直线yx4过抛物线的焦点设A、B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由可得x224x160，故x1x224故|AB|x1x2p24832(5)如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由定义得|BD|a，故B
12、CD30在直角三角形ACE中，|AE|AF|3，|AC|33a，2|AE|AC|，33a6，从而得a1BDFG，即，求得p，因此抛物线的方程为y23x名师点拨 1求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程(抛物线焦点在其标准方程中一次项所对应的坐标轴上)(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解变式训练2(1)(2020福建漳州质检)已知
13、抛物线y22px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程为(B)Ay2x By22xCy24x Dy28x(2)(2019吉林市五地六校适应性考试)已知抛物线C：x22py(p0)的准线l与圆M：(x1)2(y2)216相切，则p(D)A6 B8 C3 D4解析(1)由抛物线的定义可知，p1，抛物线方程为y22x，故选B(2)因为抛物线C：x22py的准线为y，又准线l与圆M：(x1)2(y2)216相切，所以24，则p4.故选D考点三直线与抛物线的综合问题师生共研例5(1)(2019黑龙江省大庆市模拟)已知F是抛物线C：y22px(p0)的焦点，过点R(2,1
14、)的直线l与抛物线C交于A，B两点，R为线段AB的中点，若|FA|FB|5，则直线l的斜率为(B)A3 B1 C2 D(2)(2019陕西省汉中市模拟)已知抛物线y28x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，交准线于点C，若|BC|BF|，则|AB|等于(C)A12 B14 C16 D28(3)(2019金华模拟)已知抛物线C：y22px(p0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F的距离为若N(，0)，过点N，P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(xa)2y21相交于D，E两点，O为坐标原点，OAOB，试问：是否存在实数a，使得|D
15、E|为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明由解析(1)由于R(2,1)为AB中点，根据抛物线的定义|FA|FB|xAxBp22p5，解得p1，抛物线方程为y22x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2x1，y2x2，两式相减并化简得1，即直线l的斜率为1，故选B(2)抛物线y28x，p4，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，如下图：则|BN|BF|，|BC|BF|，|BC|BN|，NCB，kAB1，直线AB的方程为yx2，由得x212x40，xAxB12，|AB|xAxBp16.故选C(3)点P(2，t)到焦点F的距离为，2，解得p1，故抛物线C的方程为y22x，P(2,2)
16、，l1的方程为yx，联立得可解得xQ，又|QF|xQ，|PF|，设直线l2的方程为xnym(m0)，代入抛物线方程可得y22ny2m0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22n，y1y22m，由OAOB得，(ny1m)(ny2m)y1y20，整理得(n21)y1y2nm(y1y2)m20，将代入解得m2或m0(舍去)，满足4n28m0，直线l2：xny2，圆心M(a,0)到直线l2的距离d，|DE|2，显然当a2时，|DE|2，存在实数a2，使得|DE|为定值名师点拨 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用到根与系数的关系(2)
17、有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解变式训练3(1)(2020甘肃诊断)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|4，3，则p(C)A2 B C D4(2)(2019合肥模拟)已知抛物线C1：y24x和C2：x22py(p0)的焦点分别为F1，F2，点P(1，1)，且F
18、1F2OP(O为坐标原点)求抛物线C2的方程；过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求PMN面积的最小值解析(1)过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D两点，设|BF|a，根据抛物线的性质可知，|BD|a，|AE|4，根据平行线段比例可知，即，解得a2，又，即，解得pa，故选C(2)F1(1,0)，F2(0，)，(1，)(1，)(1，1)10，p2，C2的方程为x24y设过点O的直线为ykx(k0)，联立得M(，)，联立得N(4k,4k2)(k0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p(D)A B
19、C D解析抛物线C1：x22py(p0)的焦点坐标为(0，)，双曲线y21的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y(x2)，联立得2x2p2x2p20设点M的横坐标为m，易知在M点处切线的斜率存在，则在点M处切线的斜率为y|xm(x2)|xm又双曲线y21的渐近线方程为y0，其与切线平行，所以，即mp，代入2x2p2x2p20，得p或p0(舍去)名师点拨 利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错变式训练4已知抛物线x28y，过点P(b,4)作该抛物线的切线PA，PB，切点为A，B，若直线AB恒过定点，则该定点为(C)A(4,0) B(3,2) C(0，4) D(4,1)解析设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，y，y，PA，PB的方程yy1(xx1)，yy2(xx2)，由y1，y2，可得yxy1，yxy2，切线PA，PB都过点P(b,4)，4by1,4by2，故可知过A，B两点的直线方程为4xy，当x0时，y4，直线AB恒过定点(0，4)故选C
