1、3 弧 度 制 必备知识自主学习 1.角度制和弧度制 导思 1.什么是弧度制?1弧度是如何规定的?2.角度制与弧度制是如何进行换算的?3.弧长公式及扇形的面积公式是什么?角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制,规定1度的角等 于周角的 弧度制 在单位圆中,_的弧所对的圆心角称为1弧度角,单位符 号用rad表示,读作_.以弧度作为单位来度量角的单位制 叫作弧度制 1360长度为1 弧度 2.角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算(2)一些特殊角与弧度制的对应关系【思考】“弧度”与“度”互化过程中,其“正负”变化吗?提示:不变.3.弧度数与弧度制的作用【思考】弧度制与角度制相比,有
2、哪些好处?提示:弧度制使得角和实数建立了一一对应关系.角的集合可以写作(0,),而不能写作(0,180).【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)1弧度的角的大小与其所在的圆的半径的大小有关.()(2)根据弧度的定义,180一定等于 弧度.()(3)弧度数为2的角所在圆的半径为1,则其所对的弧长为2.()提示:(1).1弧度的角的大小与圆的大小无关,只要弧长等于半径,则弧所对的圆心角就是1弧度的角.(2).由角度与弧度的互化可知其正确.(3).由弧长公式得弧长为21=2.2.圆的半径是6 cm,则15的圆心角与圆弧围成的扇形面积是 ()A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.3
3、 cm2【解析】选B.根据扇形面积公式,得S=62=(cm2).2321212323.(教材二次开发:习题改编)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成 的角的弧度数是()【解析】选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A,B不正确,又 因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的 .即为-2=-.A.B.C.D.363616316关键能力合作学习 类型一 角度与弧度的互化(数学抽象)【题组训练】1.将下列角度与弧度进行互化.(1);(2);(3)-15730;(4)-15.2.设=510,=(1)将角 用弧度表示出来,并指出它的终边所在的象限.(2)将角 用角度表示出来,并指出它的终
4、边所在的象限.5127611.6【解题策略】角度与弧度互化的策略(1)原则:牢记180=rad,充分利用1=rad和1 rad=进行换 算.(2)方法:设一个角的弧度数为,角度数为n,则 rad=;n=n rad.(3)注意点:用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略 不写;180180)（180)（180用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少 的形式,如无特别要求,不必把 写成小数;度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.【补偿训练】(1)把11230化成弧度.(2)把 化为角度.【解析】(1)11230=112.5=(2)=-105.712225()22255
5、.2180877180()1212 类型二 用弧度表示角及其范围(逻辑推理)【典例】1.若 角的终边与 的终边相同,则在0,2 内终边与 角的终 边相同的角是_.2.图中阴影部分表示的角度的集合为_(包括边界).【思路导引】用终边相同角表示并计算,注意范围.485【解题策略】1.用弧度表示角的注意点(1)注意角度与弧度不能混用.(2)各终边相同的角需加2k,kZ.(3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当地赋值.2.解决“弧度”与“角度”概念问题的关键点(1)引入弧度制后,角与实数建立了一一对应关系.(2)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角
6、度制和弧度制度量任意非零角,单位不同,数量也不同.(3)“角度”与“弧度”可以按照“180=rad”这一等量关系进行相互转化.【跟踪训练】1.集合 所表示的角的范围(用阴影表示)是()|kkkZ42 ，2.用弧度制表示:(1)终边在x轴上的角的集合.(2)终边在y轴上的角的集合.(3)终边在坐标轴上的角的集合.【解析】(1)终边在x轴上的角的集合 S1=|=k,kZ.(2)终边在y轴上的角的集合 (3)终边在坐标轴上的角的集合 2S|k,kZ.2 3kS|,kZ.2 类型三 弧长公式与面积公式的应用(数学建模、数学运算)角度1 求弧长 【典例】已知扇形OAB的圆心角 为120,半径长为6,求
7、的长.【思路导引】化角度制为弧度制,应用公式.【解析】因为=120=,r=6,所以 的长l=6=4.AB23AB23【变式探究】已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是_.【解析】由已知圆的半径为r=,故所求的弧长为l=r=.答案:1sin 12sin 12sin 1 角度2 求圆心角 【典例】已知扇形的周长为6 cm,面积为2 cm2,求扇形圆心角的弧度数.【思路导引】设出弧长与半径,列方程求解.角度3 求面积的最值 【典例】已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?【思路导引】用r表示弧长l,根据扇形的面积公式,构
8、造面积S与半径r的二次函数,求最值.【解题策略】(1)三个公式:|=,l=|r,S=lr=|r2.要根据已知量、未知量之 间的关系,适当选择公式,建立方程(组)、不等式(组)或函数解决问题.(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知 哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.(3)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利 用函数知识求最值,一般多利用二次函数的最值求解.rl1212【补偿训练】1.若两个圆心角相同的扇形,半径之比为a,则面积之比为多少呢?【解析】设 =a.则 =a2,可得面积之比为a2.1
9、2rr2112221|rS21S|r22.若两个圆心角相同的扇形的面积之比为14,则这两个扇形的周长之比为 _.【解析】方法一:设两个扇形的圆心角的弧度数为,半径分别为r,R(其中 rR),则 所以rR=12,两扇形周长之比为 =12.方法二:答案:12 221r12,14R22rr2RR 11.42【题组训练】1.已知某扇形的面积为2.5 cm2,若该扇形的半径r,弧长l满足2r+l=7 cm,则该扇 形圆心角大小的弧度数是()【解析】选D.根据题意,得 解得 所以 或5.414A.B.5 C.D.5525或2r7,1 r2.5,2ll5r1,r,25,2 或 ll4r5l2.如图,扇形AO
10、B的圆心角=,周长为10,求扇形的面积.123.用弧度制写出终边落在直线y=x上的角的集合_.3【补偿训练】半径为12 cm的圆中,弧长为8 cm的弧,其所对的圆心角为,则与 终边相 同的角的集合为_.【解析】圆心角=所以=2k+kZ.答案:82,1232,32|2kkZ3 ，课堂检测素养达标 1.下列说法中,错误的是()A.半圆所对的圆心角是 rad B.周角的大小等于2 C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对圆心角的大小是1弧度【解析】选D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确.2.与角-终边相同的角是()【解析】选C.与角-终边相同的角的集合为 当k=1时,=-+2=3255A.B.C.D.33363|2k,kZ,3 35.33.(教材二次开发:习题改编)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇 形的半径是_cm,面积是_cm2.【解析】设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,因为 所以r=2,又因为S=|r2,所以S=222=4(cm2).答案:2 4 2r8|r2r,ll12124.(1)将-1 725化为弧度.(2)将 化为角度.(3)将3化为角度.643
