1、2020-2021学年北京市首师大附中1-4班高二（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题6分，共48分）.1设集合AxR|x1，BxR|1x2，则AB（）A1，+）B（1，+）C（1，2D1，1）2在四个函数yx、yx2、yx3、中，在区间1，2的平均变化率最大的是（）ABCD3“a2”是“直线yax+2与y垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知数列an的通项公式为an2n（3n13），则数列an的前n项和Sn取最小值时，n的值是（）A3B4C5D65已知函数f（x）sinxx（x0，），那么下列结论正确的是（）Af（x）在0，上是增函数Bf
2、（x）在，上是减函数Cx0，f（x）Dx0，f（x）6已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）f（x）当0x1时，f（x）x2若直线yx+a与函数yf（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A0B0或C或D0或7已知全集Ua1，a2，a3，a4，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：若a1A，则a2A；若a2A，则a3A；若a3A，则a4A则集合A（）Aa1，a2Ba1，a3Ca2，a3Da2，a48若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A（0，e）B（e，+）C（0，eDe，+）二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共
3、36分.把答案填在题中横线上.9设抛物线y24x的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若|OP|PF|，则OPF的面积为 10已知函数f（x）sinx+cosx（0）的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则的最小值为 11各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若a32，S45S2，则a1的值为 ，S4的值为 12已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点若角满足sin（+），且+为第二象限角，则cos的值是 13已知双曲线C：1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，则C的离心率为 14定
4、义在（0，+）上的函数f（x）满足：当x1，3）时，；f（3x）3f（x）（i）f（6） ；（ii）若函数F（x）f（x）a的零点从小到大依次记为x1，x2，xn，则当a（1，3）时，x1+x2+x2n1+x2n 三、解答题.本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（16分）如图所示，在四边形ABCD中，D2B，且AD1，CD3，（）求ADC的面积（）若，求AB的长16（16分）已知数列an的各项均不为0，其前n项和为Sn，且满足a1a，2Snanan+1（）求a2的值；（）求an的通项公式；（）若a9，求Sn的最小值17（17分）已知椭圆C：的离心率为，定点M（
5、2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1MB2（）求椭圆C的方程；（）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点试问x轴上是否存在定点P，使PM平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由18（17分）已知函数f（x）（x2x）lnx（）求证：1是函数f（x）的极值点；（）设g（x）是函数f（x）的导函数，求证：g（x）1参考答案一、选择题（共8小题，每小题6分，共48分）.1设集合AxR|x1，BxR|1x2，则AB（）A1，+）B（1，+）C（1，2D1，1）解：由题意得，集合AxR|x1，BxR|1x2，则ABxR|1x2（1，2，故选：C2在四个函数yx、yx2、y
6、x3、中，在区间1，2的平均变化率最大的是（）ABCD解：根据题意，对于yx，在区间1，2的平均变化率1；对于yx2，在区间1，2的平均变化率3；对于yx3，在区间1，2的平均变化率7；对于，在区间1，2的平均变化率；在区间1，2的平均变化率最大的是yx3，故选：B3“a2”是“直线yax+2与y垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：当a2时直线yax+2的斜率是2，直线y的斜率是2，满足k1k21a2时直线yax+2与y垂直，直线yax+2与y垂直，则aa1，解得a2，“a2”是“直线yax+2与y垂直”的充分不必要条件故选：A4已知数列an的通项公
7、式为an2n（3n13），则数列an的前n项和Sn取最小值时，n的值是（）A3B4C5D6解：令an2n（3n13）0，解得4+，则n4，an0；n5，an0数列an的前n项和Sn取最小值时，n4故选：B5已知函数f（x）sinxx（x0，），那么下列结论正确的是（）Af（x）在0，上是增函数Bf（x）在，上是减函数Cx0，f（x）Dx0，f（x）解：函数f（x）sinxx（x0，），f（x）cosx；令f（x）0，得x；x0，时，f（x）0，f（x）是增函数；x，时，f（x）0，f（x）是减函数；f（x）在x时有极大值，也是最大值f（）选项A、B、C错误，D正确故选：D6已知函数f（x）是定
8、义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）f（x）当0x1时，f（x）x2若直线yx+a与函数yf（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A0B0或C或D0或解：f（x）是定义在R上的偶函数，当0x1时，f（x）x2，当1x0时，0x1，f（x）（x）2x2f（x），又f（x+2）f（x），f（x）是周期为2的函数，又直线yx+a与函数yf（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，其图象如下：当a0时，直线yx+a变为直线l1，其方程为：yx，显然，l1与函数yf（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点；当a0时，直线yx+a与函数yf（x）的图象在0，2内恰
9、有两个不同的公共点，由图可知，直线yx+a与函数yf（x）相切，切点的横坐标x00，1由得：x2xa0，由1+4a0得a，此时，x0x0，1综上所述，a或0故选：D7已知全集Ua1，a2，a3，a4，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：若a1A，则a2A；若a2A，则a3A；若a3A，则a4A则集合A（）Aa1，a2Ba1，a3Ca2，a3Da2，a4解：若Aa1，a2，则不满足；若Ba1，a3，则不满足；若Ca2，a3，则满足题意；若Da2，a4，则不满足；故选：C8若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A（0，e）B（e，+）C（0，eDe，+）解：由题意，当x0时，
10、f（x）xex，则f（x）（x+1）ex，令f（x）0，可得x1，当x（，1）时，f（x）0，在函数f（x）在（，1）单调递减；当x（1，0时，f（x）0，在函数f（x）在（1，0单调递增；当x1时，f（x）xex取得最小值为其值域为，+）那么：当x0时，二次函数f（x）ax22x的最小值大于等于a0，其对称x0则f（x）minf（）即，解得：ae故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把答案填在题中横线上.9设抛物线y24x的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若|OP|PF|，则OPF的面积为 解：根据对称性可知，当|OP|PF|时，点P的位置有两个，且点P在两个位置
11、上所构成的三角形全等，由抛物线y24x的焦点是（1，0），即点P的横坐标是，即，故答案为：10已知函数f（x）sinx+cosx（0）的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则的最小值为 2解：函数f（x）sinx+cosx2sin（x+），由于函数的图象和y2两个相邻的交点的距离为，故函数的最小正周期为，解得：2故答案为：211各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若a32，S45S2，则a1的值为，S4的值为解：若等比数列的公比等于1，由a32，则S44a3428，5S252S352220，与题意不符设等比数列的公比为q（q1），由a32，S45S2，得：，整理得，解得，q2因为数
12、列an的各项均为正数，所以q2则故答案为；12已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点若角满足sin（+），且+为第二象限角，则cos的值是 解：角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点所以cos，sin，满足sin（+），且+为第二象限角，所以cos（+），故coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin故答案为：13已知双曲线C：1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，则C的离心率为解：双曲线C：1（a0，b0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆
13、A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，可得A到渐近线bx+ay0的距离为：bcos30，可得：，即，可得离心率为：e故答案为：14定义在（0，+）上的函数f（x）满足：当x1，3）时，；f（3x）3f（x）（i）f（6）3；（ii）若函数F（x）f（x）a的零点从小到大依次记为x1，x2，xn，则当a（1，3）时，x1+x2+x2n1+x2n6（3n1）解：当1x2时，0f（x）1；当2x3时，0f（x）1，可得当x1，3）时，f（x）0，1（i）f（3x）3f（x），f（6）3f（2），又当x2时，f（2）211，f（6）313（ii）当时，则13x3，由可知：同理，当时，0f
14、（x）1，因此不必要考虑当x3，6时，由，可得，f（x）0，3；同理，当x（6，9）时，由，可得，f（x）0，3；此时f（x）0，3作出直线ya，a（1，3）则F（x）f（x）a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x226，依此类推：x3+x4218，x2n1+x2n223n当a（1，3）时，x1+x2+x2n1+x2n4（3+32+3n）6（3n1）三、解答题.本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（16分）如图所示，在四边形ABCD中，D2B，且AD1，CD3，（）求ADC的面积（）若，求AB的长解：（）因为D（0，），
15、所以，所以ACD的面积（）在ACD中，AC2AD2+DC22ADDCcosD12，所以在ACD中，AC2AB2+BC22ABBCcosB12把已知条件代入并化简得：AB24AB0因为AB0，所以AB416（16分）已知数列an的各项均不为0，其前n项和为Sn，且满足a1a，2Snanan+1（）求a2的值；（）求an的通项公式；（）若a9，求Sn的最小值解：（）2Snanan+1，2S1a1a2，即2a1a1a2，a1a0，a22（）2Snanan+1，当n2时，2Sn1an1an，两式相减得到：2anan（an+1an1），an0，an+1an12，数列a2k1，a2k都是公差为2的等差数列
16、，当n2k1时，ana1+2（k1）a+2k2a+n1，当n2k时，an2+2（k1）2kn，an（）当a9时，an，2Snanan+1，Sn，当n为奇数时，Sn的最小值为S515；当n为偶数时，Sn的最小值为S410，所以当n5时，Sn取得最小值为1517（17分）已知椭圆C：的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1MB2（）求椭圆C的方程；（）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点试问x轴上是否存在定点P，使PM平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：（）由 ，得 依题意MB1B2是等腰直角三角形，从而b2，故a3所以椭圆C的方程是（）设
17、A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为xmy+2将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m2+9）y2+16my200所以 ，若PM平分APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB0设P（a，0），则有 将 x1my1+2，x2my2+2代入上式，整理得 ，所以 2my1y2+（2a）（y1+y2）0将 ，代入上式，整理得 （2a+9）m0由于上式对任意实数m都成立，所以 综上，存在定点，使PM平分APB18（17分）已知函数f（x）（x2x）lnx（）求证：1是函数f（x）的极值点；（）设g（x）是函数f（x）的导函数，求证：g（x）1【解答】（本题14分
18、）（）证明：证法1：f（x）（x2x）lnx的定义域为（0，+）（1分）由f（x）（x2x）lnx得，f（1）0当x1时，（2x1）lnx0，x10，f（x）0，故f（x）在（1，+）上单调递增；当时，（2x1）lnx0，x10，f（x）0，故f（x）在上单调递减；（此处为推理说明，若用列表说明则扣1分）所以1是函数f（x）的极值点证法2：（根据极值的定义直接证明）f（x）（x2x）lnx的定义域为（0，+）（1分）f（x）x（x1）lnx，f（1）0当x1时，x（x1）0，lnx0，f（x）0，即f（x）f（1）；当0x1时，x（x1）0，lnx0，f（x）0，即f（x）f（1）；根据极值的
19、定义，1是f（x）的极值点（）由题意可知，g（x）（2x1）lnx+x1证法1：，令，故h（x）在（0，+）上单调递增又，又h（x）在（0，+）上连续，使得h（x0）0，即g（x0）0，（*）g（x），g（x）随x的变化情况如下：x（0，x0）x0（x0，+）g（x）0+g（x）极小值g（x）ming（x0）（2x01）lnx0+x01由（*）式得，代入上式得令，故t（x）在上单调递减t（x）t（1），又t（1）1，t（x）1即g（x0）1g（x）1证法2：g（x）（2x1）lnx+x12xlnxlnx+x1，x（0，+），令h（x）2xlnx，t（x）lnx+x1，x（0，+），h（x）2（lnx+1），令h（x）0得h（x），h（x）随x的变化情况如下：xh（x）0+h（x）极小值，即，当且仅当时取到等号，令t（x）0得x1t（x），t（x）随x的变化情况如下：x（0，1）1（1，+）t（x）0+t（x）极小值，t（x）mint（1）0，即x1lnx0，当且仅当x1时取到等号即g（x）1
