1、课时规范练53古典概型与几何概型 基础巩固组1.(2019山东德州模拟,4)如图,在边长为2的正方形中,随机撒1 000粒豆子,若按3计算,估计落到阴影部分的豆子数为()A.125B.150C.175D.2002.(2019山东菏泽一模拟,6)九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A.1213B.1314C.21
2、29D.14153.(2019广东一模,4)古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论,利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点,具体方法如下:取线段AB=2,过点B作AB的垂线,并用圆规在垂线上截取BC=12AB,连接AC;以C为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D;以A为圆心,以AD为半径画弧,交AB于点E.则点E即为线段AB的黄金分割点.若在线段AB上随机取一点F,则使得BEAFAE的概率约为()(参考数据:52.236)A.0.236B.0.382C.0.472D.0.6184.(2019广东深圳六校联考)在区间-,上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a
3、,b),则OAOB42的概率为()A.1-8B.1-4C.1-2D.1-345.(2019安徽芜湖模拟,8)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术,蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息.现有一幅剪纸的设计图,其中的4个小圆均过正方形的中心,且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率为()A.332B.(3-22)2C.(2-2)4D.86.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为()A.115B.15C.14D.127.
4、(2019江西名校(临川一中、南昌二中)联考,8)如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设DF=3AF=3,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是()A.37B.217C.413D.213138.某校有包括甲、乙两人在内的5名大学生自愿参加该校举行的A,B两场国际学术交流会的服务工作,这5名大学生中有2名被分配到A场交流会,另外3名被分配到B场交流会,如果分配方式是随机的,那么甲、乙两人被分配到同一场交流会的概率为.9.(2019河南焦作四模,14)记m表示不超过m的最大整数.若在x18,12上随机取1个实数,则使得log2
5、x为偶数的概率为.10.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同,从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为.综合提升组11.如图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为20,则称该图形是“和谐图形”,已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为()A.310B.15C.110D.32012.(2019湖南师范大学附中模拟,8)中华人民共和国国旗是五星红旗,旗面左上方缀着的五颗黄色五角星,四颗小五角星环拱于大星之右,象征中国共
6、产党领导下的革命人民大团结和人民对党的衷心拥护.五角星可通过正五边形连接对角线得到,且它具有一些优美的特征,如A2E2B1A2=B1A2A1B1=A1B1B1E1且等于黄金分割比5-12,现从正五边形A1B1C1D1E1内随机取一点,则此点取自正五边形A2B2C2D2E2内部的概率为()A.7-352B.5-22C.3-52D.5-1213.已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A,B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过3 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确
7、,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A.1-22B.22C.1-32D.1214.(2019河南郑州联考,8)将曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为,曲线x2+y2=1围成的区域记为,曲线x2+y2=1与坐标轴的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD围成的区域记为,在区域中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,则()A.p1+p21B.p1+p21C.p1+p2=1D.p1=p215.(2019河北衡水模拟,14)已知数列an满足a1=2,an+1=-2an(nN*).若从数列an的前10项中随机抽取一项,则该项不小于8的概率是.创新应用组16.在区间1,e上任取实数
8、a,在区间0,2上任取实数b,使函数f(x)=ax2+x+14b有两个相异零点的概率是()A.12(e-1)B.14(e-1)C.18(e-1)D.116(e-1)17.已知实数a,b满足0a1,-1b1,则函数y=13ax3+ax2+b有三个零点的概率为.参考答案课时规范练53古典概型与几何概型1.A由题意知圆的半径为1,则圆的面积近似为3,又正方形面积为4,则阴影部分面积为12(4-3)=12.设落到阴影部分的豆子数为n,则n1 000=124,n=125.故选A.2.C由题意知BC=2,BC=5,设AC=x,则AB=AB=x+2,在RtACB中,列勾股方程得52+x2=(x+2)2,解得
9、x=214,所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为P=xx+2=214214+2=2129,故选C.3.A由勾股定理可得AC=52.236,由图可知BC=CD=1,AD=AE=5-11.236,BE2-1.236=0.764,则0.764AF1.236,由几何概型可得,使得BEAFAE的概率约为1.236-0.7642=0.236,故选A.4.B在区间-,上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2为边长的正方形内,因为OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OAOB=4a2+4b2.因为OAOB42,所以a2+b22,点(a,b)在以原点为圆心,以为半径的圆外,且在以2为边长的正方
10、形内,所以OAOB42的概率为P=42-342=1-4,故选B.5.B如图所示,设正方形的边长为2,其中的4个圆过正方形的中心,且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r,故BE=O2E=O2O=r,BO2=2r.BO2+O2O=BO=12BD=22,2r+r=22,r=2-22.黑色部分面积S=2-222=3-222,正方形的面积为1,在正方形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率为3-222,故选B.6.B由题意分析可得甲连续三天参加活动的所有情况为:第13天,第24天,第35天,第46天,共4种,故所求概率P=4A33C63A33=15.故选B.7.A由题,DF=3AF=3,可得AF=BD=1
11、,AD=4,且ADB=120,所以在三角形ADB中,cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD,解得AB=21,所以概率为P=34DF234AB2=921=37,故选A.8.25记其余3名大学生分别为丙、丁、戊,则5名大学生分别被分配到A场交流会、B场交流会的所有基本事件有:A(甲、乙),余下的人分配到B场交流会,下同,A(甲、丙),A(甲、丁),A(甲、戊),A(乙、丙),A(乙、丁),A(乙、戊),A(丙、丁),A(丙、戊),A(丁、戊),共10个,其中甲、乙两人被分配到同一场交流会的基本事件是:,故所求概率为410=25.9.23若x18,12,则log2x(-3,-1).要使得lo
12、g2x为偶数,则log2x-2,-1).所以x14,12,故所求概率P=12-1412-18=23.10.4891P=C62C51C41+C61C52C41+C61C51C42C154=4891.11.B由题意可知,若该图形为“和谐图形”,则另外两个三角形上的数字之和恰为20-14=6.从1,2,3,4,5中任取两个数字的所有情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,而其中数字之和为6的情况有(1,5),(2,4),共2种,所以所求概率P=15.故选B.12.A根据题意知,正五边形A1B1C1D1E1
13、正五边形A2B2C2D2E2,可得A2E2B1A2=B1A2A1B1=A1B1B1E1=5-12,所以A2E2A1B1=B1A2B1E1=B1A2A1B1A1B1B1E1=5-122,所以由面积比的几何概型,可得所求的概率为P=5-124=7-352,故选A.13.A由题意,AOB是直角三角形,OA=OB=2,所以AB=22,O地为一磁场,距离其不超过3 km的范围为14个圆,与AB相交于C,D两点,作OEAB,则OE=2,所以CD=2,所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-CDAB=1-222=1-22.故选A.14.C由方程x2+y2=|x|+|y|,得x0,y0,x-122+y-12
14、2=12或x0,y0,x-122+y+122=12或x0,y0,x+122+y-122=12或x0,y0,即ab1,所有的试验结果=(a,b)|1ae,且0b2,对应区域面积为2(e-1);事件A=(a,b)|ab1,1ae,且0b2,对应区域面积S=e 11ada=1,则事件A的概率P(A)=12(e-1).故选A.17.516对y=13ax3+ax2+b求导数可得y=ax2+2ax,令ax2+2ax=0,可得x=0或x=-2,0a0,b0,b0.画出可行域如图,满足函数y=13ax3+ax2+b有三个零点,如图深色区域,实数a,b满足0a1,-1b1,为长方形区域,所以长方形的面积为2,深色区域的面积为121+14=58,所以所求概率为P=582=516,故答案为516.
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