1、-1-2 实数集的基数-2-2 实数集的基数 YU XIDAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 激趣诱思 新知预习 阿基里斯追龟说阿基里斯(Achilles)是荷马史诗伊利亚特中的英雄,以擅跑闻名.芝诺说阿基里斯永远追不上乌龟.比如,龟在阿基里斯前面的 100码处,阿基里斯的速度是龟的十倍.当阿基里斯跑到龟的出发点时,龟已前进了 10 码;阿基里斯再追 10 码,龟又前进了 1 码;再追 1 码,龟又前进了 110码,这样二者永远隔着一段距离,总也追不上.你认为这个结论可信吗?-3-2 实数集的基数 YU XIDAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互
2、动课堂 激趣诱思 新知预习 1.1873 年 11 月 29 日康托给著名的数学家戴德金的信中提出了这样一个问题:“Z+和 R+之间是否存在着一个一一对应的关系?”在1873 年 12月 7 日,他又给戴德金的一封信中,证明了不存在这样的配对,也就是他证明了实数集是不可数的.2.定理 1:实数集(0,1)是不可数的.在证明过程中,使用的方法叫做康托对角线法.3.定理 2:无理数集是不可数的.这就是说,无理数在数量上大大超过有理数.尽管有理数在数轴上处处稠密,但与无理数相比不过是沧海一粟.-4-2 实数集的基数 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二
3、 三 重难点拨 思悟升华 一、关于康托【例 1】1873 年 12 月 7 日,康托给戴德金的第二封信中证明了().A.实数与有理数一样多B.正整数与实数一样多C.正整数与有理数一样多D.实数不可数解析:康托给戴德金的第二封信中证明了实数是不可数的.故选D.答案:D1890 年康托发现了实数集不可数的第二个证明,第二个证明使用了 法.答案:反证-5-2 实数集的基数 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华【例 2】第一个证明了实数集不可数的数学家是().A.康托B.戴德金C.费马D.欧拉答案:A康托在证明实数集是不可数的时,
4、首先证明了与实数集对等的一个集合是不可数的,从而得出实数集是不可数的,这个对等集合是().A.(0,+)B.(-,0)C.(0,1)D.0,1答案:C-6-2 实数集的基数 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 二、实数集的基数【例 3】康托在证明实数集(0,1)是不可数的时,先假设实数集(0,1)是可数的,这样可建立实数集(0,1)与正整数集之间的一一对应关系,如下表:10.a11a12a13a1420.a21a22a23a2430.a31a32a33a3440.a41a42a43a44k0.ak1ak2ak3ak4那么
5、,康托构造了一个什么样的新实数 b,使得新实数 b 不同于序列中的任何一个数的?-7-2 实数集的基数 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 解:康托构造了一个新实数 b:b=0.b1b2b3b4(0bi9,i=1,2,)使得 b1a11,b2a22,b3a33,bkakk,并且 bi 都不取 0 和 9.这样新实数 b 就不同于序列中的任何一个数.因为 b1a11,所以数 b不同于序列中的第一个数.b2a22,所以数 b 不同于序列中的第二个数.同样的方法,数 b 不同于序列中的任何一个数.且 b0,b1,故它不在序列中
6、,但 b 一定严格位于 0 与 1 之间,这样就导出了实数集(0,1)与正整数集一一对应相矛盾,也就证明了实数集(0,1)不可数.-8-2 实数集的基数 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 康托在研究数论和用三角函数唯一地表示函数等问题过程中,发现了惊人的结果:.答案:有理数是可数的,而全体实数是不可数的-9-2 实数集的基数 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 三、不可数集合【例 4】0 与 1 之间满足下述条件的实数:它们的十进制小数表示中只有
7、 1,2,3,4,5,而不含其他数字,例如:0.312,0.543,0.512 35423,试证明所有这样的实数构成的集合是不可数的.证明:假设所有满足条件的实数构成的集合是可数的,这样我们总可以按照给定的一一对应关系,把满足条件的实数与正整数集之间的对应关系用下表表示:10.a11a12a1320.a21a22a2330.a31a32a33k0.ak1ak2ak3-10-2 实数集的基数 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 现在我们构造一个新的实数 b:b=0.b1b2b3,其中 bi=2,2,3,=2.显然这样构造的
8、实数满足上述已知条件,但是,由于 b1a11,所以数 b 不同于序列中的第一个数 0.a11a12a13;由于 b2a22,所以数 b不同于序列中的第二个数 0.a21a22a23;同样的方法,数 b 不同于序列中的任何一个数,这与序列中包含所有满足条件的实数相矛盾.因此所有满足条件的实数构成的集合是不可数的.-11-2 实数集的基数 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 定义由数字 0,1,2,3 构成的实数为 3 进制实数,请证明区间(0,1)内的所有 3 进制实数构成的集合是不可数的.证明:假设区间(0,1)内的所有
9、 3 进制实数是可数的,这样我们就可以按照给定的一一对应关系,把满足条件的实数与正整数集之间的对应关系用下表表示:10.a11a12a1320.a21a22a2330.a31a32a33k0.ak1ak2ak3-12-2 实数集的基数 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 一 二 三 重难点拨 思悟升华 现在,我们构造一个新的实数 b:b=0.b1b2b3,其中 bi=1,=2,2,2.显然这样构造的实数是一个 3 进制实数,但是,由于 b1a11,所以数 b 不同于序列中的第一个数 0.a11a12a13;由于 b2a22,所以数 b不同于序列中的第二
10、个数 0.a21a22a23;同样的方法,数 b 不同于序列中的任何一个数,这与序列中包含所有的 3 进制实数相矛盾,所以假设不成立.因此区间(0,1)内的所有 3 进制实数是不可数的.-13-2 实数集的基数 YU XI DAO YIN预习导引 H U DONG KE TANG互动课堂 重难点拨 思悟升华 1.康托的两封书信:1873 年 11 月 29 日康托给好朋友戴德金写了一封信,提出了一个问题:Z+和 R+之间是否存在一个一一对应关系?1873 年 12 月 7 日,他又给戴德金写了一封信,在信中他给出实数集合是不可数的一个证明.在这两封信中,康托给无限的理论奠定了基础.2.康托的对角线法:1890 年,康托给出了实数集合不可数的第二个证明.在证明实数集(0,1)不可数时,使用的方法叫做康托对角线法,它是一种非常重要的思想方法.这种证明方法已经变成了一种模式,很多不同数学结果的证明都用到了它.3.康托从数学上严格证明了“无穷”也是有差别的,并非所有的无穷集合都有相同的大小,而且无穷的大小也是可以比较的.比如无理数在数量上大大超过有理数,尽管有理数在数轴上处处稠密,但与无理数相比少得几乎可以忽略不计.最令人不可思议的是,无穷集合的整体可以与自身的一部分一一对应,这就打破了统治数学界 2 000多年的欧几里得的金科玉律“部分少于整体”.