1、专题强化练3函数性质的综合应用一、选择题1.()若f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0的解集为()A.(-,-1)B.(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.(-,-1)(-1,0)(1,+)5.(多选)()下列函数是偶函数,且在区间(0,1)上单调递增的是()A.f(x)=x2-2B.f(x)=2xC.f(x)=|x|+1|x|D.f(x)=x2|x|6.(多选)()已知函数f(x),x(-,0)(0,+),对于任意的x,y(-,0)(0,+),f(xy)=f(x)+f(y),则()A.f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0)B.f(x)在定义域上为奇函数C.若当x1时,有f(x)0,则
2、当-1x0时,f(x)0D.若当0x1时,有f(x)0的解集为(1,+)7.(多选)(2021江苏徐州高一上期中,)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时, f(x)=-x2+2x,则下列说法正确的是()A.当x(0,+)时,f(x)=x2-2xB.函数在定义域R上为增函数C.不等式f(3x-2)0恒成立二、填空题8.()函数y=1x2+2x+4的单调递增区间为.9.()设函数f(x)为定义在集合D上的偶函数,对任意xD都有ff(x)=x,若方程f(x)+x=0的解为x=x0,则x0=.10.()已知函数f(x)=(x2-x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=2对称,则a+b=,
3、函数y=f(x)的最小值为.三、解答题11.()已知函数f(x)=x2x-2,xR,且x2.(1)判断并证明f(x)在区间(0,2)上的单调性;(2)若函数g(x)=x2-2ax与函数f(x)在区间0,1上有相同的值域,求实数a的值;(3)函数h(x)=(1-3b2)x+5b,b1,x0,1,若对任意的x10,1,总存在x20,1,使得f(x1)=h(x2)成立,求实数b的取值范围.答案全解全析一、选择题1.Cf(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-(-1)2+3+1=-5,f(1)+f(0)=-5.故选C.2.B设g(x)=x3+kx,则g(x)=f(x)-2.
4、f(x)在区间-2,-1上的最大值为4,g(x)在区间-2,-1上的最大值为2.g(x)=x3+kx是奇函数,g(x)在区间1,2上的最小值为-2,函数f(x)在区间1,2上的最小值为0.故选B.3.Bf(x)为奇函数,且在(-,0)上单调递减,f(2)=0,f(-2)=0,f(0)=0,且在(0,+)上单调递减.xf(x)0,x0,f(x)0或x0,f(x)0或x=0,0x2或-2x0,x-1,f(x)0或x-1,f(x)0的解集为(-,-1)(-1,0)(1,+).故选D.5.AD选项A中,因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)2-2=x2-2=f(x),所以f(x
5、)=x2-2是偶函数,易知f(x)在区间(0,1)上为增函数,符合题意;选项B中,因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,且f(-x)=2-x=-2x=-f(x),所以f(x)=2x(x0)是奇函数,易知f(x)在区间(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,且f(-x)=|-x|+1|-x|=|x|+1|x|=f(x),所以f(x)=|x|+1|x|(x0)是偶函数,易知当x(0,1)时,f(x)=x+1x单调递减,不符合题意;选项D中,因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,且f(-x)=(-x
6、)2|-x|=x2|x|=f(x),所以f(x)=x2|x|(x0)是偶函数,易知f(x)在区间(0,1)上为增函数,符合题意.故选AD.6.AC令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),即f(-1)=0,所以f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0),故A正确;令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),又x(-,0)(0,+),关于原点对称,所以f(x)在定义域上为偶函数,故B错误;令y=-1x,则f(-1)=f(x)+f-1x=0,即f-1x=-f(x),当x1时,-1x(-1,0),又f(x)0,则f
7、-1x0,即当-1x0时,f(x)0,故C正确;令y=1x,则f(1)=f(x)+f1x=0,即f1x=-f(x),当0x1时,1x(1,+),又f(x)0,即当x1时,f(x)0,因为f(x)在定义域上为偶函数,所以当x0,所以f(x)0的解集为(-,-1)(1,+),故D错误.故选AC.7.BC对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),当x0时,-x0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x=-f(x),所以f(x)=x2+2x,故A错误;对于B,易知f(x)=-x2+2x(x0),所以函数在定义域R上为增函数,故B正确;对于C,不等式f(3x-2
8、)3可化为f(3x-2)f(1),整理得3x-21,解得x0不一定成立,故D错误.故选BC.二、填空题8.答案(-,-1解析由x2+2x+4=(x+1)2+30得函数的定义域是R.设u=x2+2x+4,则u在(-,-1上是减函数,在-1,+)上是增函数.y=1u在(-,0)和(0,+)上是减函数,函数y=1x2+2x+4的单调递增区间是(-,-1.9.答案0解析若方程f(x)+x=0的解为x=x0,则f(x0)+x0=0,即f(x0)=-x0,所以ff(x0)=f(-x0).因为对任意xD都有f(f(x)=x,所以ff(x0)=x0,所以f(-x0)=x0.因为函数f(x)为定义在集合D上的偶
9、函数,所以f(x0)=x0.联立可得x0=0.10.答案5;-94解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(2+x)=f(2-x).当x=1时, f(3)=f(1),即(9-3)(9+3a+b)=0,当x=2时, f(4)=f(0),即(16-4)(16+4a+b)=0,联立可得a=-7,b=12,所以a+b=5.所以f(x)=(x2-x)(x2-7x+12)=x(x-1)(x-3)(x-4),所以f(x+2)=(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)=(x2-1)(x2-4)=(x2)2-5x2+4=x2-522-94,所以f(x+2)min=-94.因为函数图象左右平移不改变函数的
10、值域,所以y=f(x)的最小值为-94.三、解答题11.解析(1)f(x)在区间(0,2)上为减函数.证明如下:任取x1,x2(0,2),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x12x1-2-x22x2-2=x12(x2-2)-x22(x1-2)(x1-2)(x2-2)=x1x2(x1-x2)-2(x12-x22)(x1-2)(x2-2)=x1x2(x1-x2)-2(x1+x2)(x1-x2)(x1-2)(x2-2)=x1(x2-2)-2x2(x1-x2)(x1-2)(x2-2),因为0x1x22,所以x1-20,x2-20,x1-x20,x1(x2-2)-2x20,即f(x1)f(x2),所以f(x)在区间(0,2)上为减函数.(2)因为f(x)在区间0,1上递减,所以其值域为-1,0,即x0,1时,g(x)-1,0.因为g(0)=0为最大值,所以最小值只能为g(1)或g(a).若g(1)=-1,则a1,1-2a=-1,解得a=1;若g(a)=-1,则12a1,-a2=-1,解得a=1.综上,a=1.(3)当b1,x0,1时,h(x)在区间0,1上单调递减,故h(x)在0,1上的最大值为h(0)=5b,最小值为h(1)=1-3b2+5b.由(2)知f(x)在0,1上的值域为-1,0,所以(0)0,(1)-1,所以5b0,1-3b2+5b-1,b1,解得b2.