1、江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学下学期教学质量调研试题（二）（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.数列3，2，的一个通项公式（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把数列3，2，化简，结合规律，即可求解.【详解】由题意，数列3，2，可化为，可得数列的一个通项公式.故选：B.【点睛】本题主要考查了根据数列前几项归纳数列的通项公式，其中解答中合理找出数列中数字的变化规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2.已知直线是平面的斜线，过作平面，使，这样的（ ）A. 恰能作一个B. 至多作一个C
2、. 至少作一个D. 不存在【答案】D【解析】【分析】由题意结合面面平行的性质即可得解.【详解】若存在过直线的平面，使得，则直线与平面无公共点，与直线是平面的斜线矛盾，不合题意，所以这样的平面不存在.故选：D.【点睛】本题考查了面面平行的性质，考查了空间思维能力，属于基础题.3.已知等差数列的前项和为，则取最大值时的的值为（ ）A. 4B. 5C. 4或5D. 5或6【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，求出可解出，将等差数列前项和公式和二次函数的性质相结合可得结果.【详解】设等差数列的公差为，则，得，解得，由二次函数的性质可得当或5时，取最大值，故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的
3、前项和的最值，考查数列的通项，属于中档题.4.空间四边形中，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图所示，取的中点，连接，利用三角形中位线定理可得： ，,在中，由余弦定理可得，即可得结果.【详解】解：如图所示，取的中点，连接，因为分别为，的中点，所以，在中，由余弦定理得，,因为，所以 ，所以异面直线与所成的角为，故选：C【点睛】此题考查了异面直线所成的角、余弦定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.5.设等比数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据公式求解即可.【详解】解：当
4、时，；当时，所以；所以，解得，所以，满足.所以.故选：A.【点睛】本题主要考查已知求，属于基础题.6.在四面体中，二面角的大小为，点为直线上的动点，记直线与平面所成的角为，则（ ）A. 的最大值为B. 的最小值为C. 的最大值为D. 的最小值为【答案】C【解析】【分析】过作平面的垂线，找出二面角的平面角和直线与平面所成的角，根据正切值可求的最大值为.【详解】解：作平面于，在平面内作于，连结，由三垂线定理知，则就是二面角的平面角，连结，就是直线与平面所成的角，点为直线上的动点，所以即，所以，故的最大值为，故选：C【点睛】考查线面角和面面角的求法以及大小比较，基础题.7.在正方体中，分别为，的中点
5、，则下列直线中与直线相交的是（ ）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】C【解析】【分析】连接，则可得四边形为梯形，所以可得直线与直线相交.【详解】解：如图，连接,因为分别为，的中点，所以，因为为的中点，所以，所以，,所以四边形为梯形，所以直线与直线相交.故选：C 【点睛】此题考查空直线的位置关系，属于基础题.8.数列是首项为1，公差为的等差数列，数列的通项公式为，设，数列的前n项和为，若，则的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】首先根据等差数列的通项公式求出，利用分组求和求出，再解不等式即可.【详解】是首项为1，公差为的等差数列，即，解得，故的最
6、大值为3，故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，利用分组求和求数列的前项和，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9.已知是一个平面，是两条直线，有下列四个结论，正确的是（ ）A. 如果，那么B. 如果，那么C. 若直线垂直于平面内的无数条直线，则D. 如果，那么【答案】BD【解析】【分析】由，则或，可判定A不正确；根据线面垂直的性质，可判定B是正确的；根据线面垂直的定义，可判定C不正确；根据平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判定D是正确的【
7、详解】对于A中，如果，那么或，所以不正确；对于B中，根据线面垂直的性质，可得若，那么，所以是正确的；对于C中，根据线面垂直的定义，直线垂直于平面内的任意直线，则，而直线垂直于平面内的无数条直线，则与不一定垂直，所以不正确；对于D中，平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可得若，那么，所以是正确的故选：BD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10.数列的前项和为，若，则有（ ）A. B. 为等比数列C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】由数列中和的关系式，求得数列的通项公式，可判定D正确；再
8、利用题设条件，求得的表达式，可判定A正确，最后结合等比数列的定义，可判定B正确.【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，所以，所以数列的通项公式为；当时，又由时，适合上式，所以数列的的前项和为；又由，所以数列为公比为3等比数列，综上可得选项是正确的.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，等比数列的定义及应用，以及数列的递推关系式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.11.四棱柱中，为正方形的中心，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（ ）A. 平面B. 平面平面C. 直线与直线所成的角为D. 【答案】BD【解析】【分析】对于A，
9、假设平面，可推出矛盾结论；对于B，按照证明两个平面平行的判断定理易证；对于C，假设直线与直线所成角为，则可推出不确定的结论；对于D，转化为证明，易证.【详解】解：对于A，若平面，因为，则平面，或平面，而和平面相交，故A错；对于B ，因为分别为线段，的中点，所以，平面，平面，所以平面，因为分别为线段，的中点，所以，平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面平面，故B正确；对于C，若直线与直线所成的角为，由，则，显然，则，而和不一定垂直，故C错误. 对于D，设，则，显然，由，所以，而，所以直线与直线所成的角为， 故D正确.故选：BD【点睛】考查线面平行、面面平行的判断与证明，考查异面直线垂直的判断
10、与证明，基础题.12.已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，若，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐一验证即可；【详解】解：对于A，所以，A正确；对于B，因为，由，所以，B正确.对于C，若，所以，C正确.对于D，因为且，当是偶数时，故D错误.故选：ABC【点睛】考查等差数列和等比数列的有关性质，基础题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.是正项等比数列前和，则_公比_【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，解得首项
11、和公比即可.【详解】当时，不满足题意，故；当时，有，解之得：.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.14.如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_【答案】【解析】设球半径为，则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解15.下列结论中，正确的序号是_
12、如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线平行；如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行；如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行；如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行【答案】【解析】【分析】中,两个平面平行,故两个平面内的直线没有公共点,可以平行或者异面; 中,两个平面平行,则两个平面没有任何公共点,则一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点; 中,一个平面内的锐角由有公共顶点的射线组成,可视为两条相交直线分别平行于另一个平面,由面面平行的判定定理可知正确; 中, 如果一个平面内有无数条直线平行于另
13、一个平面，那么这两个平面平行或相交.【详解】对于, 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线可以平行或异面,错误;对于, 如果两个平面平行，根据面面平行的性质定理,则其中一个平面内的直线必与另一平面平行,正确;对于,如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，而一个角的两边可以看做两条相交直线,根据面面平行的判定定理,那么这两个平面平行,正确;对于,如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交,错误;故答案为: 【点睛】本题考查命题的真假判断,考查立体几何中空间点、线、面的位置关系,以及学生的空间想象能力,熟记公式和定理是解题的关键.16
14、.已知数列的前项和为，若关于的不等式有且仅有一解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】依题意得关于的不等式有且只有一个解，令，可知为递增数列，根据单调性可得结果.【详解】依题意得关于的不等式有且只有一个解，令，则，所以为递增数列，因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了数列不等式有解问题，考查了数列的单调性，属于基础题.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在三棱锥中，平面平面，点（与，不重合）分别在棱，上，且求证：（1）平面；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）易得，由线面平行判定定理即可得结果；（2）由面
15、面垂直性质定理可得平面，再由线面垂直判定定理得到面，进而可得结论.【详解】（1），平面，平面，平面，平面（2）平面平面，平面平面，平面，平面平面，面，【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直性质定理的应用，通过线面垂直得到线线垂直，属于基础题.18.已知数列中，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）构造即可证明；（2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解【详解】（1）首项则是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1），故【点睛】本题考查等比数列的证明，通项公式，是基础题.19.如图，在长方体中，为与的交点（1）证明：平面平面
16、；（2）求直线与平面所成的角【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由四边形为正方形，得，由平面，得，从而得平面进而可证平面平面；（2）过作，垂足为H，可得平面，则为与平面所成的角，再由已知的数据可得到为正三角形，从而得.【详解】（1）长方体中，四边形为矩形，且，四边形为正方形，长方体中，平面，且平面，平面，平面平面，平面平面（2）过作，垂足H，平面平面，平面平面，平面，平面，在平面上的射影为，与平面所成的角为在中，同理，为正三角形，直线与平面所成的角为【点睛】此题考查了证明面面垂直，求直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和逻辑思维能力，考查了运算能力，属于中档题.20.已知数
17、列是公差的等差数列，成等比数列，数列是公比的等比数列，且，（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差中项及可知，进而通过成等比数列计算可知，由此可求得，利用，求出进而计算可得，的通项公式（2）通过（1）可知，进而利用错位相减法计算即得【详解】（1），成等比数列，即，由得：或，（2），【点睛】本题考查数列的通项及前项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题21.在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，分别为棱，上的点，且（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的正切值【答案】（1）证明
18、见解析；（2）【解析】【分析】（1）由可得， ，而由得，从而由线面平行的判定定理可得平面，平面，所以可证得平面平面；（2）过A作，垂足为H，连接，由已知条件可推出，所以为二面角的平面角，然后在中可求出的正切值.【详解】（1），四边形是矩形，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面（2）过A作，垂足为H，连接四边形是矩形，平面平面，平面平面，平面，平面平面，平面，平面，平面，为二面角的平面角，分别为棱，的中点，是等边三角形，是等边三角形，在中，二面角的正切值为【点睛】此题考查了证明面面平行，求二面角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22.数列中，其前项和为，且（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由，化简得，结合等比数列的性质，证得数列是等比数列，进而求得其通项公式（2）由（1），化简，利用“裂项法”，即可求得数列的前项和.【详解】（1）由题意，因为，所以，可得，因为，所以，所以，所以数列是等比数列则公比，所以数列通项公式为（2）由（1）可得，所以【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项公式，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟练应用等比数列的定义求得数列的通项公式，结合“裂项法”求和，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
