1、课时规范练43椭圆基础巩固组1.已知椭圆x23+y24=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,|MF1|-|MF2|=1,则MF1F2是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.(2019山东临沂质检,6)点A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点,F为右焦点,C为短轴上不同于原点O的一点,D为OC的中点,直线AD与BC交于点M,且MFAB,则该椭圆的离心率为()A.12B.13C.23D.323.(2019福建福州八县(市)联考,7)椭圆x225+y216=1的左右焦点分别为F1,F2,过F1的一条直线与椭圆交于A,B两点,若ABF2的内切圆面积为
2、,且A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=()A.53B.103C.203D.534.已知椭圆C:x29+y25=1,若直线l经过M(0,1),与椭圆交于A,B两点,且MA=-23MB,则直线l的方程为()A.y=12x+1B.y=13x+1C.y=x+1D.y=23x+15.(2019河南八市重点高中联考,9)已知F1、F2为椭圆C:x2a2+y24=1(a2)的左、右焦点,若椭圆C上存在四个不同点P满足PF1F2的面积为43,则椭圆C的离心率的取值范围为()A.0,12B.12,1C.0,32D.32,16.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-23,0),且长轴长是短轴长的
3、2倍,则该椭圆的长轴长为,其标准方程是.7.(2019北京顺义区模拟,9)已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点,P是C上的任意一点,则|PF1|PF2|的最大值为.若A(0,46),则|AP|-|PF2|的最小值为.综合提升组8.已知椭圆x24+y23=1上有n个不同的点P1,P2,P3,Pn,F为其右焦点,若|PnF|是公差d110的等差数列,则n的可能取值为()A.19B.20C.21D.229.(2019黑龙江哈尔滨三中期末,9)已知椭圆y2a2+x2=1(a1)的离心率e=255,P为椭圆上的一个动点,则P与定点B(-1,0)连线距离的最大值为()A.32B.2C
4、.52D.310.(2019河北省衡水中学一调,15)如图,A1,A2分别是椭圆x24+y2=1的左、右顶点,圆A1的半径为2,过点A2作圆A1的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆于点Q,则|PQ|QA2|=.11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)短轴的端点P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-14,则点P到直线QM的距离为.12.(2019山西晋城高三三模,19)已知ABC的周长为6,B,C关于原点对称,且B(-1,0).点A的轨迹为.(1)求的方程;(2)若D(-2,0),直线l:y=k(x-1)(k
5、0)与交于E,F两点,若1kDE,k,1kDF成等差数列,求的值.13.(2019河南洛阳高三统考,19)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a0,b0)经过点A-62,2,且点F(0,-1)为其一个焦点.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E交于点M,N,证明:直线MN通过一个定点,且FMN的周长为定值.14.已知动点M(x,y)满足:(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=22,(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)设A,B是轨迹E上的两个动点,线段AB的中点N在直线l:x
6、=-12上,线段AB的中垂线与E交于P,Q两点,是否存在点N,使以PQ为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出N点坐标,若不存在,请说明理由.创新应用组15.(2019贵州遵义模拟,20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为23,点P为椭圆上一点,F1PF2=90,F1PF2的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点B为椭圆的上顶点,过椭圆内一点M(0,m)的直线l交椭圆于C,D两点,若BMC与BMD的面积比为21,求实数m的取值范围.参考答案课时规范练43椭圆1.B由题意|MF1|+|MF2|=4,又|MF1|-|MF2|=1,联立后可解得|MF1
7、|=52,|MF2|=32,又|F1F2|=2c=24-3=2,22+322=254=522,MF2F1F2,MF1F2是直角三角形.故选B.2.B由题意作出椭圆如图,MFAB,且OCAB,MFOC,同理MFOD,ODMF=OAAF=aa+c,MFOC=FBOB=a-ca,得到ODMFMFOC=aa+ca-ca=a-ca+c=ODOC=12,2(a-c)=c+a,a=3c,e=ca=13.故选B.3.B椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,ABF2的内切圆的面积为,ABF2内切圆半径r=1,SABF2=121(A
8、B+AF2+BF2)=2a=10.SABF2=12|y1-y2|2c=12|y1-y2|23=10,|y1-y2|=103.故选B.4.B设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线l的方程为y=kx+1.因为MA=-23MB,所以2x2=-3x1,联立y=kx+1,x29+y25=1,得(5+9k2)x2+18kx-36=0,则x1+x2=-18k5+9k2,x1x2=-365+9k2,2x2=-3x1,解得k=13,即所求直线方程为y=13x+1.5.D设P(x0,y0),SPF1F2=12|F1F2|y0|=c|y0|=43,则|y0|=43c=43a2-4,若存在四个
9、不同点P满足SPF1F2=43,则0|y0|2,即043a2-44,故e=a2-4a=1-4a232,1.故选D.6.8x216+y24=1由题意知a=2b,c=23,a2-b2=c2,可得b2=4,a2=16,2a=8,故所求该椭圆的长轴长为8,其标准方程是x216+y24=1.7.94由x29+y25=1,可得a=3,c=2,由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6,则|PF2|=6-|PF1|,于是|PF1|PF2|=|PF1|(6-|PF1|)=6|PF1|-|PF1|2.a-c|PF1|a+c,即1|PF1|5.当|PF1|=3时,|PF1|PF2|取最大值,最大值为18-9=
10、9.|AP|-|PF2|=|AP|-(2a-|PF1|)=|AP|+|PF1|-6.又|AP|+|PF1|AF1|(当且仅当P在线段AF1上时取等号),(|AP|-|PF2|)min=|AF1|-6=(0+2)2+(46-0)2-6=4.8.AB设椭圆的左焦点为F.由题意可得|PiF|+|PiF|=2a=4,i=1,2,n.不妨设|PiF|=|Pn+1-iF|,则2(|P1F|+|P2F|+|PnF|)=4n,则n|P1F|+n(n-1)2d=2n,可得|P1F|=2-n-12d1,n2d+1.公差d110,n1)的离心率e=255,可得a2-1a=255,解得a=5,则椭圆方程为y25+x2
11、=1.设P(cos,5sin),则P与定点B(-1,0)连线距离为(cos+1)2+5sin2=4sin2+2cos+2=6+2cos-4cos2=254-4cos-14252,当cos=14时,取得最大值52.故选C.10.34连接PO,PA1,可得POA1是边长为2的等边三角形,所以PA1O=POA1=60,可得直线PA1的斜率k1=tan60=3,直线PO的斜率为k2=tan120=-3.因此,直线PA1的方程为y=3(x+2),直线PO的方程为y=-3x.设P(m,n),由y=3(x+2),y=-3x,解得m=-1.因为圆A1与直线PA2相切于点P,所以PA2PA1,因此PA2O=90
12、-PA1O=30,故直线PA2的斜率k=tan150=-33,直线PA2的方程为y=-33(x-2).代入椭圆方程x24+y2=1,消去y得7x2-16x+4=0,解得x=2或x=27.因为直线PA2交椭圆于A2(2,0)与Q点,设Q(s,t),可得s=27.由此可得|PQ|QA2|=xQ-xPxA2-xQ=s-m2-s=27+12-27=34.11.455b或255a不妨设,A点的坐标为(x0,y0),则B点坐标为(-x0,-y0),则y0-bx0-y0-b-x0=-14,由于x02a2+y02b2=1,则-b2a2=-14,则ba=12,不妨设M(a,0),直线QM方程为bx-ay-ab=
13、0,则P到直线QM的距离为d=|2ab|a2+b2=2b1+(ba)2=2b54=455b=255a.12.解(1)依题意,B(-1,0),C(1,0),故|BC|=2,则|AB|+|AC|=4|BC|=2,故点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(不含左、右两顶点),故的方程为x24+y23=1(x2).(2)依题意,2k=1kDE+1kDF,故2=kkDE+kkDF.联立y=k(x-1),3x2+4y2-12=0,整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2.故kkDE+kkDF=k(
14、x1+2)y1+k(x2+2)y2=k(x1+2)k(x1-1)+k(x2+2)k(x2-1)=2+3x1-1+3x2-1=2+3(x1+x2-2)(x1-1)(x2-1)=2+3(x1+x2-2)x1x2-(x1+x2)+1=2+38k23+4k2-24k2-123+4k2-8k23+4k2+1=2+3(8k2-6-8k2)4k2-12-8k2+3+4k2=2+2=4=2,则=2.13.(1)解根据题意可得32a2+2b2=1,b2-a2=1,可解得a=3,b=2,故椭圆E的方程为y24+x23=1.(2)证明不妨设A1(0,2),A2(0,-2).P(x0,4)为直线y=4上一点(x00)
15、,M(x1,y1),N(x2,y2).直线PA1方程为y=2x0x+2,直线PA2方程为y=6x0x-2.点M(x1,y1),A1(0,2)的坐标满足方程组x23+y24=1,y=2x0x+2,可得x1=-6x03+x02,y1=2x02-63+x02.点N(x2,y2),A2(0,-2)的坐标满足方程组x23+y24=1,y=6x0x-2,可得x2=18x027+x02,y2=-2x02+5427+x02.M-6x03+x02,2x02-63+x02,N18x027+x02,-2x02+5427+x02.直线MN的方程为y-2x02-63+x02=-x02-96x0x+6x03+x02,即y
16、=-x02-96x0x+1.故直线MN恒过定点B(0,1).又F(0,-1),B(0,1)是椭圆E的焦点,FMN周长为|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.14.解(1)x22+y2=1;(2)存在.理由如下,当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-12,此时P(-2,0),Q(2,0),F2PF2Q=-1,不合题意;当直线AB不垂直于x轴时,设存在点N-12,m(m0),直线AB的斜率为k,设A(x1,y1),B(x2,y2),由x122+y12=1,x222+y22=1得:(x1+x2)+2(y1+y2)y1-y2x1-x2=0,则-1+4mk=0,故k=14m,此时,直线
17、PQ斜率为k1=-4m,直线PQ的方程为y-m=-4mx+12,即y=-4mx-m.联立y=-4mx-m,x22+y2=1消去y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0,设P(x3,y3),Q(x4,y4).所以x3+x4=-16m232m2+1,x3x4=2m2-232m2+1.由题意F2PF2Q=0,于是F2PF2Q=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m)=(1+16m2)x3x4+(4m2-1)(x3+x4)+1+m2=(1+16m2)(2m2-2)32m2+1+(4m2-1)(-16m2)32m2+1+1+m2=19m2-132m2+1=0,m=1919,N在椭圆内,m20得4k2-m2+10,x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,由x1=-2x2可求得x2=8km4k2+1,-2x22=4m2-44k2+1,所以-264k2m2(4k2+1)2=4m2-44k2+1.整理得4k2=1-m29m2-1.由k20,4k2-m2+10可得1-m29m2-10,19m21,解得13m1或-1m-13.
