1、高考资源网（） 您身边的高考专家第三讲函数的单调性与最值ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数
2、yf(x)的单调区间知识点二函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值1复合函数的单调性函数yf(u)，u(x)，在函数yf(x)的定义域上，如果yf(u)，u(x)的单调性相同，则yf(x)单调递增；如果yf(u)，u(x)的单调性相反，则yf(x)单调递减2单调性定义的等价形式设任意x1，x2a，b，x1x2.(1)若有(x1x2)f(x1)f(x2)0或0，则f(x)在闭区间a，b上是增函数(2)若有(
3、x1x2)f(x1)f(x2)0或0，则kf(x)与f(x)单调性相同，若k0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反(4)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y的单调性相同题组一走出误区1(多选题)下列结论不正确的是(ABCD)A函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)B函数y的单调递减区间是(，0)(0，)C对于任意两个函数值f(x1)、f(x2)，当f(x1)f(x2)时都有x1x2，则yf(x)为增函数D已知函数yf(x)是增函数，则函数yf(x)与y都是减函数解析对于A：单调区间是定义域的子区间，如yx在1，)上是增函数，但它的单调递增区间是R，而不
4、是1，)对于B多个单调区间不能用“”符号连接，而应用“，”或“和”连接对于C设f(x)，如图当f(x1)f(x2)时都有x1x2，但yf(x)不是增函数对于D当f(x)x时，y，有两个减区间，但y并不是减函数，而yf(x)是由yf(t)与tx复合而成是减函数故选A、B、C、D题组二走进教材2(必修1P44AT9改编)函数y(2m1)xb在R上是减函数，则(B)Am Bm Dm解析使y(2m1)xb在R上是减函数，则2m10，即m0时，yx在(0，)上单调递增，当0，且a1)，当0a1时，yax在(，)上单调递增，而选项B中的函数y2x可转化为y()x，因此函数y2x在(0，)上单调递减，故选项
5、B不符合题意；对于对数函数ylogax(a0，且a1)，当0a1时，ylogax在(0，)上单调递增，因此选项C中的函数yx在(0，)上单调递减，故选项C不符合题意，故选A6(2015浙江卷，10)已知函数f(x)则ff(3)0，f(x)的最小值是23.解析由题意知，f(3)1，f(1)0，即ff(3)0.易得f(x)在(，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，在(，)上单调递增，所以f(x)minminf(0)，f()23.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一函数的单调性考向1函数单调性的判断与证明自主练透例1 (1)(
6、多选题)(2020广东省名校联考改编)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论中不正确的是(ACD)Ay|f(x)|在R上为增函数By2f(x)在R上为减函数Cyf(x)3在R上为增函数Dyf(x)在R上为减函数(2)已知a0，函数f(x)x(x0)，证明：函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数解析(1)A错，比如f(x)x在R上为增函数，但y|f(x)|x|在(0，)上为增函数，在(，0)上为减函数；C错，比如f(x)x在R上为增函数，但yf(x)3x3在R上为减函数；D错，比如f(x)x在R上为增函数，但x在(0，)上为减函数，而在(，0上没意义故选A、C、D(2)证明：设x1，
7、x2是任意两个正数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在，)上是增函数考向2求函数的单调区间师生共研例2 求下列函数的单调区间(1)f(x)x22|x|3；(2)f(x) (x24x5)；(3)f(x)xln x.分析 (1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；(2)复合函数求解；(3)导数法解析(1)解法一：(图象法)f(x)其图象如图所示，所以函数yf(x)的单
8、调递增区间为(，1和0,1；单调递减区间为1,0和1，)解法二：(化为分段函数求解)f(x)y(x1)24(x0)图象开口向下，对称轴为x1，增区间为(0,1)，减区间为(1，)；y(x1)24(x0得1x0.y1.x(0,1)1(1，)y0y极小值由上表可知，函数的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)引申1本例(1)f(x)|x22x3|的增区间为(1,1)和(3，).解析作出f(x)|x22x3|的图象，由图可知所示增区间为(1,1)和(3，)引申2本例(2)f(x)loga(x24x5)(a1)的增区间为(1,2.名师点拨 求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法(1)利用已
9、知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：求函数的定义域；求简单函数的单调区间；求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”注意：(1)求函数单调区间，定义域优先(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接变式训练1(1)f(x)在(C)A(，1)(1，)上是
10、增函数B(，1)(1，)上是减函数C(，1)和(1，)上是增函数D(，1)和(1，)上是减函数(2)下列函数中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是(C)Af(x)2x Bf(x)|x1|Cf(x)x Df(x)ln(x1)(3)函数f(x)(a1)x2在R上单调递增，则函数g(x)a|x2|的单调递减区间是(，2.(4)函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a0，a1，g(x)a|x2|减区间为g|x2|减区间，(，2，故填(，2(4)设g(x)f(t)，tlogax(0ax11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab
11、 BcbaCacb Dbac解析由已知得f(x)在(1，)上单调递减，又f()f()，e2，f(e)f()f(2)，即ca0，二次函数ux22ax1a在(，1上单调递减，故只需当x1时，x22ax1a0，代入x1解得a2，所以a的取值范围是1,2)故选A(2)若g(x)为减函数，必有解得0m，即m的取值范围为(0，角度3利用单调性解不等式例5 (2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是(D)A2,2 B1,1 C0,4 D1,3解析因为f(1)1，且f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)1，因为1f(x2)1，所以f(1)f(x
12、2)f(1)，又f(x)在(，)上单调递减，所以1x21，解得1x3，故选D名师点拨 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系(3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域变式训练2(1)(角度1)，(其中e为自
13、然常数)的大小关系是(A)A BC D(2)(角度2)(2020云南曲靖一中高三质量监测)已知函数f(x)对x1，x2R，且x1x2，满足0，并且f(x)的图象经过A(3,7)，B(1,1)两点，则不等式|f(x)4|0，得x2，即函数f(x)在(2，)内单调递增，因此有f(4)f(5)f(6)，即.(2)对x1，x2R，且x1x2，函数f(x)满足0，f(x)在R上为增函数由|f(x)4|3得3f(x)43，1f(x)7.又f(x)的图象经过A(3,7)，B(1,1)两点，f(1)f(x)f(3)，1x0时，f(x)x2，则x1x20，于是f(x1x2)0，从而f(x1)f(x2)f(x1x
14、2)x2f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)0，y0都有f()f(x)f(y)，当x1时，有f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(6)1，解不等式f(x5)f()2.解析(1)f(1)f()f(x)f(x)0.(2)f(x)在(0，)上是增函数证明：设0x11，所以f()0.所以f(x2)f(x1)0，即f(x)在(0，)上是增函数(3)因为f(6)f()f(36)f(6)，又f(6)1，所以f(36)2，原不等式化为：f(x25x)f(36)，又因为f(x)在(0，)上是增函数，所以解得0x4.不等式的解集为x|0x4- 12 - 版权所有高考资源网