1、分层限时跟踪练(十一)(限时40分钟)一、选择题1(2015天津模拟)函数f(x)|x2|ln x在定义域内的零点的个数为()A0B1C2D3【解析】由题意可知f(x)的定义域为(0，)在同一直角坐标系中画出函数y1|x2|(x0)，y2ln x(x0)的图象，如图所示：由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.【答案】C2(2015太原一模)已知实数a1,0b1，则实数f(x)axxb的零点所在的区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)【解析】a1,0b1，f(x)axxb，f(1)1b0，f(0)1b0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(1,0)上存在零点【答案】
2、B3已知函数f(x)若有f(x1)f(x2)a(x1x2)成立，则实数a的取值范围是()A(0,2e)B1,2e)C(0,1D1，)【解析】由解析式知函数f(x)在(，2)上是增函数，在2，)上也是增函数由于f(x1)f(x2)a(x1x2)，当x2时，f(x)(0,2e)；当x2时，f(x)f(2)1，即f(x)1，)由题意得直线ya与函数f(x)的图象有2个交点，故有1a2e.故选B.【答案】B4已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式成立的是()Af(a)f(1)f(b)Bf(a)f(b)f(1)Cf(1)f(a)f(b)D
3、f(b)f(1)f(a)【解析】函数f(x)，g(x)均为定义域上的单调递增函数，且f(0)10，f(1)e10，g(1)10，g(e)e10，所以a(0,1)，b(1，e)，即a1b，所以f(a)f(1)f(b)故选A.【答案】A5(2015开封模拟)对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(x1)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(1,1(2，)B(2，1(1,2C(，2)(1,2D2，1【解析】根据运算“”的定义可得f(x)(x22)(x1)即f(x)画出分段函数f(x)的图象，而函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，即
4、f(x)c0f(x)c有两个根，因此f(x)与yc的图象有两个公共点，而yc的图象为一条平行于x轴的直线，由图可得当2c1或1c2时，f(x)与yc的图象有两个公共点，故选B.【答案】B二、填空题6已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是_【解析】设函数f(x)x2mx6，则根据条件有f(2)0，即42m60，解得m1.【答案】(，1)7(2015安徽高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_【解析】函数y|xa|1的图象如图所示，因为直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，故2a1，解得a.【
5、答案】8已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN，则n_.【解析】2a3b4，当x2时，f(2)loga22b0；当x3时，f(3)loga33b0，f(x)的零点x0在区间(2,3)内，n2.【答案】2三、解答题9关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围【解】显然x0不是方程x2(m1)x10的解，0x2时，方程可变形为1mx，又yx在(0,1上单调递减，1,2上单调递增，yx在(0,2上的取值范围是2，)，1m2，m1，故m的取值范围是(，110是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)x
6、a1在区间1,3上与x轴有且只有一个交点若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由【解】(3a2)24(a1)920，若存在实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，所以a或a1.检验：当f(1)0时，a1.所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两根，不合题意，故a1.当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两根，不合题意，故a.综上所述，a的取值范围是(1，)1如图281是二次函数f(x)x2bxa的部分图象，则函数g(x)ex
7、f(x)的零点所在的区间是()图281A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)【解析】由图象知1得1b2.因为f(x)2xb，所以g(x)exf(x)ex2xb，因为g(x)单调递增，且g(1)2b0，g(0)1b0，g(1)e2b0，所以g(0)g(1)0.故选B.【答案】B2函数f(x)|x1|2cos x(2x4)的所有零点之和等于()A2B4 C6D8【解析】由f(x)|x1|2cos x0，得|x1|2cos x，令g(x)|x1|(2x4)，h(x)2cos x(2x4)，又因为g(x)|x1|在同一坐标系中分别作出函数g(x)|x1|(2x4)和h(x)2cos x(2x
8、4)的图象(如图)，由图象可知，函数g(x)|x1|关于x1对称，又x1也是函数h(x)2cos x(2x4)的对称轴，所以函数g(x)|x1|(2x4)和h(x)2cos x(2x4)的交点也关于x1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.【答案】C3x表示不超过x的最大整数，例如2.92，4.15，已知f(x)xx(xR)，g(x)log4(x1)，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是()A1B2 C3D4【解析】函数h(x)f(x)g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，作出函数f(x)xx与函数g(x)log4(x1)的大致图象如图，由图可知两函
9、数图象的交点个数为2，即函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是2，故选B.【答案】B4(2015长望浏宁四县联考)设a为大于1的常数，函数f(x)若关于x的方程f2(x)bf(x)0恰有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是()A0b1B0b1C0b1Db1【解析】函数f(x)的图象如图所示，由f2(x)bf(x)0可得f(x)f(x)b0，则f(x)0或f(x)b0.当f(x)0时，x1.当f(x)b0，即bf(x)时，结合图象可知：0b1时，函数f(x)与直线yb有两个交点，故当0b1时，方程f2(x)bf(x)0恰有三个不同的实数解【答案】A5已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.【证明】令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0.又函数g(x)在上连续，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.6已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点【解】f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt(t0)，则t2mt10.令0，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意；当0，即m2或m2时，t2mt10有两正根或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符合题意综上可知，m2时，f(x)有唯一零点，该零点为x0.
