1、第37讲简单不等式及其解法【课程要求】1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法3熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法对应学生用书p100【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc
2、的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()答案 (1)(2)(3)(4)(5)2必修5p80A组T4已知全集UR，集合Ax|x2x60，B，那么集合A(UB)等于()A2，4) B(1，3C2，1 D1，3解析 因为Ax|2x3，Bx|x1或x4，故UBx|1x0，令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为.答案 4若关于x的不等式ax2bx20的解集是，则ab_解析 x1，x2是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.答案 145已知关于x的不等式(a24)x2(a2)x10的解集为空集，则实数a的取值范围是_解析 当a240时，a2.若a2，不等式可化为10
3、，显然无解，满足题意；若a2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a2时，要使不等式的解集为空集，则解得2ab(a0)的解集为：(1)a0时，_x_；(2)a0(a0)或ax2bxc0(a0)的解集的各种情况如下表：判别式b24ac000)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集_x|xx2_x|x_R_ax2bxc0(a0)的解集_x|x1xx2_(2)常用结论(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(ag(x)(1)当a1时，等价于_f(x)g(x)_；(2)当0a1时
4、，等价于_f(x)logag(x)(1)当a1时，等价于_f(x)g(x)0_；(2)当0af(x)0_对应学生用书p101一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24.解析 (1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为x|2x1或2x3小结解一元二次不等式的四个步骤：(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如例1中(1)小题；(2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)写：利
5、用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集1求不等式2x2x30的解集解析 化2x2x30，解方程2x2x30，得x11，x2，不等式2x2x30的解集为(，1)，即原不等式的解集为(，1).简单指数、对数及分式不等式的解法例2(1)不等式1的解集为()A. B.C. D.解析 由题可知： 10, 0x1.答案 C(2)已知函数f(x)则不等式f(x1)0的解集为()A. B.C. D.解析 由题意，得f(x1)当x2时，由2x220，解得2x3；当x2时，由22x20，解得1x2.综上所述，不等式f(x1)0的解集为.答案 D(3)已知f(x)logax(a0，a1)，且当x0时，ax1，
6、则f1的解集是_解析 x0时，ax1，0a1.f1logalogaa1a11x.答案 小结应用指数函数、对数函数的单调性解有关指数、对数不等式问题，在高考中也时有出现，其题型特征是以函数为载体，将问题转化为简单指数、对数不等式求解2不等式1解集是_解析 将原不等式移项通分得0，等价于解得x5或x.所以原不等式的解集为.答案 3已知函数f(x)ax2bxc(a0)，若不等式f(x)0(e是自然对数的底数)的解集是_解析 依题意可得f(x)a(x3)(a0)，则f(ex)a(ex3)(a0，可得ex3，解得ln 2xln 3.答案 x|ln 2x0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a1，
7、即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为.小结含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集4解关于x的不等式：ax2(a1)x10(a0)解
8、析 原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1，即1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.含参不等式恒成立问题角度一：形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围例4已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解析 要使不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x0，则x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且关于x的方程mx22xm10
9、无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知，不存在这样的实数m使不等式恒成立角度二：形如f(x)0(xa，b)确定参数范围例5设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解析 要使f(x)m5在1，3上恒成立，则mx2mxm60，即mm60在x1，3上恒成立有以下两种方法：法一：令g(x)mm6，x1，3当m0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，即m0.综上所述，m的取值范围是(，0).法二：因为x2x10，又因为m(x
10、2x1)60，所以m.因为函数y在1，3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是(，0).角度三：形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围例6对任意m1，1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解析 由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1，1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故当x(，1)(3，)时，对任意的m1，1，函数f(x)的值恒大于零小结(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在
11、x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元；求谁的范围，谁就是参数角度四：对x1，x2D都有f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(这里假设f(x)max，g(x)min存在)例7已知函数f(x)x22x3，g(x)log2xm，对x1，x21，4有f(x1)g(x2)恒成立，求实数m的取值范围解析 f(x)x22x3(x1)22，当x1，4时，f(x)minf(1)2，g(x)maxg(4)2m.由题意得，f(x)ming(x)max，则22m.m0.角度五：x1D1，x2D2，使f(
12、x1)g(x2)f(x)ming(x)min.(这里假设f(x)min，g(x)min存在)例8已知f(x)ln(x21)，g(x)m，若x10，3，x21，2，使f(x1)g(x2)，求实数m的取值范围解析 当0x3时，f(x)minf(0)0，当1x2时，g(x)ming(2)m，由题意：则f(x)ming(x)min，0m，m.5函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2，2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4，6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围解析 (1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，实数a的取值范围是6，2(2)当x2，2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但当x2，)时，g(x)0，即即可得解得a.如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x(，2时，g(x)0.即即可得7a6，综上，实数a的取值范围是7，2(3)令h(a)xax23.当a4，6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，)
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