1、第一章 解三角形1.2 应用举例第1课时距离问题A级基础巩固一、选择题1有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改成10，则斜坡长为()A1 B2sin 10C2cos 10 Dcos 20解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求答案：C2.如图所示为起重机装置示意图支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB5 m，起吊的货物与岸的距离AD为()A30 m B. mC15 m D45 m解析：在ABC中，cos ABC，ABC(0，180)，所以sinABC ，所以在RtABD中，ADABsinABC5 (m)答案：B3甲骑电动自行车
2、以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A6 km B3 km C3 km D3 km解析：由题意知，AB246 (km)，BAS30，ASB753045.由正弦定理得BS3 (km)答案：C4设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距离是100 m，BAC60，ACB30，则A、B两点的距离为()A40 m B50 m C60 m D70 m解析：如下图所示，ABC是Rt，ABAC，所以AB
3、50 m.答案：B5两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为()A2 km B3 km C4 km D5 km解析：如下图所示，ACB90，又ACBC2，在ABC中由勾股定理得：AB4.答案：C二、填空题6已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的_解析：如下图所示，因为ACBC，所以CABCBA.又ACB180406080，所以CABCBA50.故A在B的北偏西10的方向答案：北偏西107已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个
4、湖隔开，测得AB3 km，B45，C30，则A、C两地的距离为_解析：根据题意，由正弦定理可得，代入数值得，解得AC3.答案：38在ABC中，若b2，B30，C135，则a_解析：因为B30，C135，所以A1803013515.由正弦定理，得：a4sin 15.又sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，所以a.答案：三、解答题9要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离解：如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCD (km)在BCD中，BC
5、D45，BDC75，CBD60，所以BC( km)在ABC中，由余弦定理得AB2()22cos 75325，所以AB(km)所以A、B之间的距离为 km.10如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)?解：如图，连接BC，由余弦定理得：BC220210222010cos 120700.于是，BC10.因为，所以sinACB，因为ACB90，所以ACB41.所以乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援B级能力提升1如
6、图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶已知AC10 km，A30，B45，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1 km；参考数据；1.41，1.73)()A3.4 km B2.3 kmC5 km D3.2 km解析：过点C作CDAB，垂足为D.在RtCAD中，A30，AC10 km，CDAC5(km)，ADACcos305(km)在RtBCD中，B45，BDCD5(km)，BC5(km)ABADBD(55)(km)，ACBCAB105(55)555551.4151.733.4(km)答案：A2如图所
7、示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为_海里/时解析：由题可知PM68，MPN120，N45，由正弦定理得MN6834.所以速度v(海里/时)答案：3.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60方向，且在港口B北偏西30方向上一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？解：设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行在OBC中，由题意易得BOC30，CBO60，因为BO120，所以BC60，OC60.故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x1.在OCD中，由题意易得COD30，OD20x，CD60(x2)由余弦定理，得CD2OD2OC22ODOCcosCOD，所以602(x2)2(20x)2(60)2220x60cos 30.解得x3或x，因为x1，所以x3.所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇