1、滚动测试卷四(第一九章)(时间:120分钟满分:150分)滚动测试卷第13页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合M=,N=x|y=lg(x+2),则MN等于() A.0,+)B.(-2,0C.(-2,+)D.(-,-2)0,+)答案:B解析:因为集合M=,所以M=x|x0,N=x|y=lg(x+2)=x|x-2,所以MN=x|x0x|x-2=x|-20的否定是()A.任意xR,x20B.存在xR,x20C.存在xR,x20的否定是:存在xR,x20.3.将函数f(x)=sin的图像向右平移个单位,那么所得的图像对应的函数解析式是()A.y=sin 2xB.y=cos 2
2、xC.y=sinD.y=sin答案:D解析:f(x)=sin,将函数f(x)=sin的图像向右平移个单位,得f=sin=sin,所得的图像对应的函数解析式是y=sin.4.已知函数y=f(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,当x0时,f(x)=ln x-x+1,则函数y=f(x)的大致图像是()答案:A解析:因为函数y=f(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,所以函数是奇函数,排除C,D.当x=e时,f(10)=1-e+1=2-e0,b0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.
3、=1答案:A解析:双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,解得a=2,b=,双曲线方程为=1.8.如图,在ABC中,点D在AC上,ABBD,BC=3,BD=5,sinABC=,则CD的长为()A.B.C.2D.5答案:B解析:由题意可得sinABC=sin=cosCBD,再根据余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=27+25-235=22,可得CD=.9.过P(2,0)的直线l被圆(x-2)2+(y-3)2=9截得的弦长为2时,直线的斜率为()A.B.C.1D.答案:A解析:(方法一)设直线的斜率为k,则直线方程为y
4、=k(x-2),即kx-y-2k=0.圆心为C(2,3),半径r=3,圆心到直线的距离d=.由题意得2=2,即32-=1,解得k=.(方法二)如图,圆心C(2,3),半径3,取弦PA的中点D,PD=1,则CD=2,tanPCD=.由对称性知所求直线斜率为.10.已知抛物线方程为y2=8x,直线l的方程为x-y+2=0,在抛物线上有一动点P到y轴距离为d1,P到l的距离为d2,则d1+d2的最小值为()A.2-2B.2C.2-2D.2+2答案:C解析:点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,过焦点F作直线x-y+2=0的垂线,此时d1+d2最小.F(2,0),d1+d2=-2=2-2.11.若存
5、在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是()A.1B.C.1或D.1或-答案:C解析:设过O(0,0)与f(x)相切的切点为P(x0,y0),则y0=-3+2x0,且k=f(x0)=3-6x0+2.又k=-3x0+2,由,联立,得x0=或x0=0,所以k=-或2.所求切线l的方程为y=-x或y=2x.直线l与曲线y=x2+a相切,当切线为y=2x时,联立方程可得x2+a-2x=0满足=4-4a=0,a=1.当切线为y=-x时,可得得x2+x+a=0.依题意,=-4a=0.a=.综上,a=1或a=.故选C.12.设等差数列an的前n项和为Sn,
6、若a2=-11,a5+a9=-2,则当Sn取最小值时,n等于()A.9B.8C.7D.6答案:C解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2=-11,a5+a9=-2,得解得an=-15+2n.由an=-15+2n0,解得n.当Sn取最小值时,n等于7.二、填空题(本大题共4题,每小题5分,共20分)13.(2015辽宁锦州二模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F的倾斜角为60的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于.答案:3解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2,|AB|=x1+x2+p=p,即有x1+x2=p,由直线l
7、的倾斜角为60,则直线l的方程为y-0=,即y=x-p,联立抛物线方程,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,则x1x2=,可得x1=p,x2=p.则=3.14.若变量x,y满足约束条件且z=x+3y的最小值为4,则k=.答案:1解析:由z=x+3y,得y=-x+,画出不等式对应的可行域,平移直线y=-x+,由平移可知当直线y=-x+经过点B时,直线y=-x+的截距最小,此时z取得最小值为4,即x+3y=4,由解得即B(1,1),点B同时也在直线y=k上,则k=1.15.已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线垂直于直线l:x-2y-5=0,双曲线的一个焦点在l上,则双曲线的方程为.
8、答案:=1解析:双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=5,即焦点坐标为(5,0),c=5.双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线垂直于直线l:x-2y-5=0,=2.c2=a2+b2,a2=5,b2=20.双曲线的方程为=1.16.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且,则的值为.答案:解析:设两个圆柱的底面半径分别为R,r,高分别为H,h,它们的侧面积相等,=1,.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x)=sin-4sin2wx+2(w0),其图像与x轴相邻两个交点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式;(2
9、)若将f(x)的图像向左平移m(m0)个长度单位得到函数g(x)的图像恰好经过点,求当m取得最小值时,g(x)在上的单调增区间.解:(1)函数f(x)=sin-4sin2wx+2(w0)=sin 2wx-cos 2wx-4+2=sin 2wx+cos 2wx=sin,根据图像与x轴相邻两个交点的距离为,可得函数的最小正周期为2,求得=1,故函数f(x)=sin.(2)将f(x)的图像向左平移m(m0)个长度单位得到函数g(x)=sinsin的图像,再根据g(x)的图像恰好经过点,可得sin=0,故m=,所以g(x)=sin.令2k-2x+2k+,kZ,求得k-xk-,kZ,故函数g(x)的增区
10、间为,kZ.再结合x,可得增区间为.18.(12分)如图,已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,且AB=BE=AF=1,BEAF,ABAF,CBA=,BC=,P为DF的中点.(1)求证:PE平面ABCD;(2)求三棱锥A-BCE的体积.(1)证明:取AD的中点M,连接MP,MB,P为DF的中点,MPAF,又BEAF,BEMP,四边形BEPM是平行四边形.PEBM.又PE平面ABCD,BM平面ABCD,PE平面ABCD.(2)解:在ABC中,由余弦定理可得:AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=1+()2
11、-21cos=1,AC=1.AC2+AB2=BC2.ACAB.平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,AC平面ABEF.SABE=BEAB=11=,VA-BCE=VC-ABE=SABEAC=1=.19.(12分)已知椭圆C:=1(ab0)的焦距为2,长轴长是短轴长的2倍.(1)求椭圆的标准方程;(2)斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,其中A点为椭圆的左顶点,若椭圆的上顶点P始终在以AB为直径的圆内,求实数k的取值范围.解:(1)根据题意,得解得a=2,b=1.椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由(1)及题意,知顶点A为(-2,0),直线l的方程为y=k(x+2),与椭圆方程
12、联立,得消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0;设点B为(x0,y0),则x0-2=-,x0=,y0=.又椭圆的上顶点P在以AB为直径的圆内,APB为钝角,即0.P(0,1),A(-2,0),B,=(-2,-1),.0,即20k2-4k-30,S3=b5+1=7,a1+a1q+a1q2=7,b4是a2和a4的等比中项,=a2a4=16,解得a3=a1q2=4,由得3q2-4q-4=0,解得q=2,或q=-(舍),a1=1,an=2n-1.(2)当n为偶数时,Tn=(1+1)20+22+(3+1)22+423+(5+1)24+(n-1)+12n-2+n2n-1=(20+2
13、2+322+423+n2n-1)+(20+22+2n-2),设Hn=20+22+322+423+n2n-1,2Hn=2+222+323+424+n2n,-,得-Hn=20+2+22+23+2n-1-n2n=-n2n=(1-n)2n-1,Hn=(n-1)2n+1,Tn=(n-1)2n+1+2n+.当n为奇数,且n3时,Tn=+(n+1)2n-1=2n-1+(n+1)2n-1=2n-1+,经检验,T1=2符合上式,Tn=21.(12分)已知点M是圆心为C1的圆(x-1)2+y2=8上的动点,点C2(-1,0),若线段MC2的中垂线交MC1于点N.(1)求动点N的轨迹方程;(2)若直线l:y=kx+
14、t是圆x2+y2=1的切线且l与点N的轨迹交于不同的两点P,Q,O为坐标原点,若=,且,求OPQ面积的取值范围.解:(1)由已知得|MN|=|NC2|,则|NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=2|C1C2|=2,故动点N的轨迹是以C1,C2为焦点,以2为长轴长的椭圆,a=,c=1,b2=1,动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)直线l:y=kx+t是圆x2+y2=1的切线,=1,t2=k2+1.直线l:y=kx+t代入椭圆方程可得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=16k2-8t2+8=8k20可得k0.x1+x2=-,x1x2=,y1
15、y2=(kx1+t)(kx2+t)=,t2=k2+1,x1x2=,y1y2=,=x1x2+y1y2=,k21,|PQ|=2.令=k4+k2,k21,.|PQ|=2=2上递增,|PQ|.直线PQ是圆x2+y2=1的切线,O到PQ的距离为1,SOPQ=|PQ|,即|PQ|.故OPQ面积的取值范围是.22.(12分)已知函数f(x)=x-aln x,(1)若f(x)无极值点,求a的取值范围;(2)设g(x)=x+-(ln x)2,当a取(1)中的最大值时,求g(x)的最小值;(3)证明:ln(nN+).(1)解:求导可得f(x)=,函数f(x)无极值,方程x2-ax+1=0在(0,+)上无根或有唯一
16、根,方程a=x+在(0,+)上无根或有唯一根,又x+2(x=1取等号),故=2,a2.(2)解:a=2时,f(x)=x-2ln x,g(x)=x+-(ln x)2,由(1)知,f(x)在(0,+)上是增函数,当x(0,1)时,f(x)=x-2ln xf(1)=0,即x-2ln xf(1)=0,即x-2ln x0;x0时,|2ln x|=|ln x2|,令x2=t0,|ln t|,平方得t+-2(ln t)2,t0时,t+-2(ln t)2成立,当且仅当t=1时取等号,当x=1时,函数g(x)取最小值2.(3)证明:由上知,x1时,x+-(ln x)22,x1时,ln x成立,令x=,得ln,即ln,不等式:ln+lnln+ln=ln=ln.即ln(nN+).