1、第25练完美破解立体几何证明题题型分析高考展望立体几何证明题，是高考必考题，证明平行、垂直关系是主要题型，特别是垂直关系尤为重要掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键，在二轮复习中，通过专题训练，使解立体几何证明的能力更上一层楼，确保该类题型不失分常考题型精析题型一空间中的平行问题例1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1
2、B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，由(1)知，EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.点评证明平行关系的方法(1)证明线线平行的常用方法：利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；利用平行四边形进行转换；利用三角形中位线定理证明；利用线面平行、面面平行的性质定理证明(2)证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转
3、化为证明面面平行(3)证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行变式训练1(2015广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)证明：BC平面PDA；(2)证明：BCPD；(3)求点C到平面PDA的距离(1)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BCAD，因为BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BCCD，因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，BC平面AB
4、CD，所以BC平面PDC，因为PD平面PDC，所以BCPD.(3)解如图，取CD的中点E，连接AC和PE.因为PDPC，所以PECD，在RtPED中，PE.因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，由(2)知：BC平面PDC，由(1)知：BCAD，所以AD平面PDC，因为PD平面PDC，所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥CPDAV三棱锥PACD，所以SPDAhSACDPE，即h，所以点C到平面PDA的距离是.题型二空间中的垂直问题例2如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为C
5、D的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.点评(1)证明线面垂直的常用方法：利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；利用面面
6、垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)证明面面垂直的方法：证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线来解决变式训练2(2014广东)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥
7、MCDE的体积(1)证明因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因为ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因为PDDC，BC2，CD1，PCD60，所以PD，由(1)知FDCF，在RtDCF中，CFCD.过点F作FGCD交CD于点G，得FGFCsin 60，所以DEFG，故MEPE，所以MD .SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.题型三空间中的平行、垂直综合问题例3(2015山东)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中
8、点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH. 证明(1)方法一如图，连接DG，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.方法二在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，ABBEB，所以平面FGH平面ABED.又因
9、为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.点评(1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用(
10、3)平行关系往往用到三角形的中位线，垂直关系往往用到三角形高线、中线变式训练3在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.(1)求证：平面EFG平面PMA；(2)求证：平面EFG平面PDC；(3)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比(1)证明E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，EGPM，GFBC.又四边形ABCD是正方形，BCAD，GFAD.EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，EG平面PMA，GF平面PMA.又EG、GF都在平面EFG内且相交，平面EFG平面PMA.(2)证明由已
11、知MA平面ABCD，PDMA，PD平面ABCD.又BC平面ABCD，PDBC.四边形ABCD为正方形，BCDC.又PDDCD，BC平面PDC.由(1)知GFBC，GF平面PDC.又GF平面EFG，平面EFG平面PDC.(3)解PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1，则PDAD2.DA平面MAB，且PDMA，DA即为点P到平面MAB的距离，VPMABVPABCDSMABDAS正方形ABCDPDSMABS正方形ABCD(22)14.即三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比为14.高考题型精练1(2015广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面
12、的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交答案D解析若l与l1，l2都不相交则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交2已知直线l平面，直线m平面，则“”是“lm”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件答案A解析直线l平面，直线l平面，又直线m平面，lm；但直线l平面，直线m平面，且lm时，与可以相交，故“”是“lm”的充分不必要条件，选A.3如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，ACEFG.现在沿AE、
13、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体PAEF中必有()AAPPEF所在平面 BAGPEF所在平面CEPAEF所在平面 DPGAEF所在平面答案A解析 在折叠过程中，ABBE，ADDF保持不变AP面PEF.4已知、是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a、b，a，b，a，b；存在两条异面直线a、b，a，b，a，b，可以推出的是()A B C D答案C解析对于，平面与还可以相交；对于，当ab时，不一定能推出，所以是错误的，易知正确，故选C.5(2014浙江)设m、n是两条不同的直线，、是两个不
14、同的平面，则()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m答案C解析A中，由mn, n，可得m或m或m与相交，错误；B中，由m，可得m或m或m与相交，错误；C中，由m，n，可得mn，又n，则m，正确；D中，由mn，n，可得m与相交或m或m，错误6设l，m，n表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：若ml，且m，则l；若ml，且m，则l；若l，m，n，则lmn；若m，l，n，且n，则lm.其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析对于，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故正确；对于，直线l可能在平面内，故错误；对于，三条交线除
15、了平行，还可能相交于同一点，故错误；对于，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确综上正确7.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)答案解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，
16、错；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正确8.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.则B1C与AB的位置关系为_答案异面垂直解析AO平面BB1C1C，AOB1C，又平面BB1C1C为菱形，B1CBO，B1C平面ABO，AB平面ABO，B1CAB.9.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC，答案不唯一)解析四边形ABCD是菱形，ACBD，又PA平面ABCD，PABD，又ACPA
17、A，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.10(2014山东)如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.证明(1)设ACBEO，连接OF，EC，如图由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点，因此在PAC中，可得APOF，又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC，所以四边形B
18、CDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE，因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.11.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD、PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形BEAD.又BE平面PAD，A
19、D平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，且四边形ABED为平行四边形BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，则PACD，又PAADA，CD平面PAD，从而CDPD，又E、F分别为CD、CP的中点，EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF底面PCD.12.(2014四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论(1)证明因为四边形ABB
20、1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交的直线，所以BC平面ACC1A1.(2)解如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点由已知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.