1、一、选择题1(2013福州模拟)已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A6B5C4 D3解析：选A.根据椭圆定义，知AF1B的周长为4a16，故所求的第三边的长度为16106.2(2011高考大纲全国卷)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B.C D解析：选D.法一：由得或令B(1，2)，A(4,4)，又F(1,0)，由两点间距离公式得|BF|2，|AF|5，|AB|3.cosAFB.法二：由法一得A(4,4)，B(1，2)，F(1,0)，(3,4)，(0，2)
2、，|5，|2.cosAFB.3已知曲线C1的方程为x21(x0，y0)，圆C2的方程为(x3)2y21，斜率为k(k0)的直线l与圆C2相切，切点为A，直线l与曲线C1相交于点B，|AB|，则直线AB的斜率为()A. B.C1 D.解析：选A.设B(a，b)，则由题意可得，解得.则直线AB的方程为yk(x1)，故1，k或k(舍去)4设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：选D.设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kBF，()1，整理得b2ac.c2a2ac0，两
3、边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故选D.5已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B.kAB1，直线AB的方程为yx3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，c3，c29.设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，把yx3代入双曲线方程，则1.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25.双曲线E的方程为1.二、填空题6(2011高考江西
4、卷)若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_解析：由题意可得切点A(1,0)切点B(m，n)满足，解得B.过切点A，B的直线方程为2xy20.令y0得x1，即c1；令x0得y2，即b2.a2b2c25，椭圆方程为1.答案：17(2013广西梧州高三检测)设点F为抛物线yx2的焦点，与抛物线相切于点P(4，4)的直线l与x轴的交点为Q，则PQF的值是_解析：yx，kPQy|x42，直线PQ的方程为y42(x4)令y0，得x2，点Q(2,0)又焦点F(0，1)，kFQ，kPQkFQ1，PQF.答案：8已知F是椭圆C的一
5、个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2，则C的离心率为_解析：法一：如图，设椭圆C的焦点在x轴上，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则(c，b)，(xDc，yD)，2，1，即e2， e.法二：设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则|BF|a.作DD1y轴于点D1，则由2 ，得，|DD1|OF|c，即xD.由椭圆的第二定义得|FD|e()a.又由|BF|2|FD|，得a2a，整理得，即e2.e.答案：三、解答题9. 已知抛物线C的方程为y24x，其焦点为F，准线为l，过F作直线m交抛物线C于M，N两点求SOMN的最小值解：
6、由题意知F(1,0)，l：x1，设m：xay1，M(x1，y1)，N(x2，y2)则y24ay40，由根与系数的关系得.SOMN|OF|y1y2|22(a0时取得等号)所以SOMN的最小值为2.10(2012高考重庆卷)如图所示，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点，使PB2QB2，求PB2Q的面积解：(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因为AB1B2是直角三角形且|AB1|AB2|
7、，故B1AB2为直角，从而|OA|OB2|，得b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故S|B1B2|OA|OB2|OA|bb2，由题设条件S4得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.(*)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2.又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(m
8、y14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，知0，即16m2640，解得m2.当m2时，方程(*)化为9y28y160，故y1，y2，|y1y2|，PB2Q的面积S|B1B2|y1y2|.当m2时，同理可得(或由对称性可得)PB2Q的面积S，综上所述，PB2Q的面积为.11(探究选做)(2012高考上海卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点若l与圆x2y21相切，求证：OPOQ；(3)设椭圆C
9、2：4x2y21.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值解：(1)双曲线C1：y21，左顶点A，渐近线方程：yx.不妨取过点A与渐近线yx平行的直线方程为y，即yx1.解方程组得所以所求三角形的面积为S|OA|y|.(2)证明：设直线PQ的方程是yxb.因直线PQ与已知圆相切，故1，即b22.由得x22bxb210.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2(x1b)(x2b)，所以x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|1，|OM|，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为ykx，则直线OM的方程为yx.由得所以|ON|2.同理|OM|2.设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，所以3，即d.综上，O到直线MN的距离是定值