1、 直线、平面平行的判定与性质高考试题考点一 直线与直线平行1.(2012年浙江卷,文20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:EFA1D1;BA1平面B1C1EF.(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.(1)证明:因为C1B1A1D1,C1B1平面ADD1A1,所以C1B1平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF平面A1D1DA=EF,所以C1B1EF,所以A1D1EF.因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1.又因为B1C1
2、B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tanA1B1F=tanAA1B=,即A1B1F=AA1B,故BA1B1F.所以BA1平面B1C1EF.(2)解:设BA1与B1F交点为H,连接C1H.由(1)知BA1平面B1C1EF,所以BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,得BH=.在RtBHC1中,BC1=2,BH=,得sinBC1H=.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.2.(2011年安徽卷,文19)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,
3、OA=1,OD=2,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形.(1)证明直线BCEF;(2)求棱锥FOBED的体积.(1)证明:如图所示,设G是线段DA延长线与线段EB延长线的交点.由于OAB与ODE都是正三角形,且OD=2,所以OBDE,OG=OD=2.同理,设G是线段DA延长线与线段FC延长线的交点,有OCDF,OG=OD=2.又由于G和G都在线段DA的延长线上,所以G与G重合.在GED和GFD中,由OBDE和OCDF,可知B、C分别是GE和GF的中点,所以BC是GEF的中位线,故BCEF.(2)解:由OB=1,OE=2,EOB=60,知SOBE=,而OED是边长为2的正三角形,故SOE
4、D=.所以S四边形OBED=SOBE+SOED=.过点F作FQAD,交AD于点Q,由平面ABED平面ACFD知,FQ就是四棱锥FOBED的高,且FQ=,所以=FQS四边形OBED=.考点二 直线与平面平行1.(2013年福建卷,文18)如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,ABDC,ABAD,BC=5,DC=3,AD=4,PAD=60.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M为PA的中点,求证:DM平面PBC;(3)求三棱锥DPBC的体积.解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CEAB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE
5、为矩形,AE=CD=3,在RtBEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD平面ABCD,得PDAD,从而在RtPDA中,由AD=4,PAD=60,得PD=4.正视图如图所示.(2)取PB中点N,连接MN,CN.在PAB中,M是PA中点,MNAB,MN=AB=3,又CDAB,CD=3,MNCD,MN=CD,四边形MNCD为平行四边形,DMCN.又DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.(3) =SDBCPD,又SDBC=6,PD=4,所以=8.2.(2013年山东卷,文19)如图,四棱锥PABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,
6、M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点(1)求证:CE平面PAD;(2)求证:平面EFG平面EMN.证明:(1)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EHAB,EH=AB.又ABCD,CD=AB,所以EHCD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD,因此CE平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又ABPA,所以ABEF,同理可证ABFG.又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MNCD,又ABCD,所以MNAB,因此MN平面E
7、FG,又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.3.(2013年江苏卷,16)如图,在三棱锥SABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB.过A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.证明:(1)因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因为BC平面SBC,所以
8、AFBC.又因为ABBC,AFAB=A,AF平面SAB,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因为SA平面SAB,所以BCSA.4.(2012年浙江卷,理20)如图,在四棱锥PABCD中,底面是边长为2的菱形,BAD=120,且PA平面ABCD,PA=2,M、N分别为PB、PD的中点.(1)证明:MN平面ABCD;(2)过点A作AQPC,垂足为点Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值.(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是PBD的中位线,所以MNBD.又因为MN平面ABCD,BD平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)解: 如图所示,在菱形ABCD中,BAD=120,
9、得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因为PA平面ABCD,所以PAAB,PAAC,PAAD.所以PB=PC=PD.所以PBCPDC.而M、N分别是PB、PD的中点,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连接AE,EQ,则AEMN,QEMN,所以AEQ为二面角AMNQ的平面角.由AB=2,PA=2,故在AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角PAC中,AQPC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在PBC中,cosBPC= =,得MQ=.在等腰MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE=.在AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,得cosAEQ=.所以二
10、面角AMNQ的平面角的余弦值为.5.(2012年辽宁卷,文18)如图,直三棱柱ABCABC,BAC=90,AB=AC=,AA=1,点M,N分别为AB和BC的中点.(1)证明:MN平面AACC;(2)求三棱锥AMNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)(1)证明:法一连接AB,AC,如图所示,由已知BAC=90,AB=AC,三棱柱ABCABC为直三棱柱,所以M为AB的中点.又因为N为BC的中点,所以MNAC.又MN平面AACC,AC平面AACC,所以MN平面AACC.法二取AB的中点P,连接MP,NP,AB,如图所示,因为M,N分别为AB与BC的中点,所以MPAA,PNAC
11、.所以MP平面AACC,PN平面AACC.又MPNP=P,所以平面MPN平面AACC.而MN平面MPN,所以MN平面AACC.(2)解:连接BN,如图所示,由题意知ANBC,平面ABC平面BBCC=BC,所以AN平面NBC.又AN=BC=1,故=.6.(2012年山东卷,文19)如图,几何体EABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CB=CD,ECBD.(1)求证:BE=DE;(2)若BCD=120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以COBD.又ECBD,ECCO=C,CO,EC平面EOC,所以BD平面EOC,因此B
12、DEO.又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)法一如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点,所以MNBE.又MN平面BEC,BE平面BEC,所以MN平面BEC.又因为ABD为正三角形,所以BDN=30.又CB=CD,BCD=120,因此CBD=30.所以DNBC.又DN平面BEC,BC平面BEC,所以DN平面BEC.又MNDN=N,所以平面DMN平面BEC.又DM平面DMN,所以DM平面BEC.法二如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,BCD=120,所以CBD=30.因为ABD为正三角形,所以BAD=60,ABC=90,因此AFB=30,所以
13、AB=AF.又AB=AD,所以D为线段AF的中点,连接DM,由点M是线段AE的中点,得DMEF.又DM平面BEC,EF平面BEC,所以DM平面BEC.7.(2010年北京卷,文17)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EFAC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF平面BDE;(2)求证:CF平面BDE.证明:(1)设AC与BD交于点G.因为EFAG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AFEG.因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE.(2)连接FG.因为EFCG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CFE
14、G.因为四边形ABCD为正方形,所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD,且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEG=G,所以CF平面BDE.8.(2010年浙江卷,文20)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,ABC=120,E为线段AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成ADE,使平面ADE平面BCD,F为线段AC的中点.(1)求证:BF平面ADE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面ADE所成角的余弦值.(1)证明:如图所示,取AD的中点G,连接GF,GE,由条件易知FGCD,FG=CD,BECD,BE=CD,所以FGBE,FG=BE,
15、故四边形BEGF为平行四边形,所以BFEG.因为EG平面ADE,BF平面ADE,所以BF平面ADE.(2)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.连接CE,因为ABC=120,在BCE中,可得CE=a.在ADE中,可得DE=a.在CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CEDE.在正三角形ADE中,M为DE的中点,所以AMDE.由平面ADE平面BCD,可知AM平面BCD,所以AMCE.取AE的中点N,连接NM,NF,则NFCE.则NFDE,NFAM.因为DE交AM于点M,所以NF平面ADE,则FMN为直线FM与平面ADE所成的角.在RtFMN中,NF
16、=a,MN=a,FM=a,则cosFMN=,所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为.考点三 线面平行中探索性问题的解法1.(2011年北京卷,文17)如图,在四面体PABC中,PCAB,PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DEPC.又因为DE平面BCP,所以DE平面BCP .(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DEPCFG,DGABEF,所以四边形DEFG为
17、平行四边形.又因为PCAB,所以DEDG,所以四边形DEFG为矩形.(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点.由(2)知,DFEG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.2.(2009年海南、宁夏卷,理19)如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:ACSD;(2)若SD平面PAC,求二面角PACD的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC
18、上是否存在一点E,使得BE平面PAC.若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由.(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意知SOAC.在正方形ABCD中,ACBD,所以AC平面SBD,得ACSD.解:(2)设正方形边长为a,则SD=a,又OD=a,所以SDO=60,连接OP,由(1)知AC平面SBD,所以ACOP,且ACOD,所以POD是二面角PACD的平面角.由SD平面PAC,知SDOP,所以POD=30,即二面角PACD的大小为30.(3)在棱SC上存在一点E,使BE平面PAC.由(2)可得PD=a,故可在SP上取一点N,使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN
19、,在BDN中,知BNPO.又由于NEPC,故平面BEN平面PAC,得BE平面PAC.由于SNNP=21,故SEEC=21.模拟试题考点一 直线与平面平行(2013山东潍坊高三上学期期末)如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA平面ABEF,ABEF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.(1)求证:PQ平面BCE;(2)求证:AM平面ADF.证明:(1)法一连接AC,四边形ABCD是矩形,AC与BD交于点Q.在ACE中,Q为AC中点,P为AE中点,PQCE.又PQ平面BCE,CE平面BCE,PQ平面BCE.法二取AB的中点G,连接PG,QG,如图所示,Q、G分
20、别为BD、BA的中点,QGAD.又ADBC,QGBC,QG平面BCE,BC平面BCE,QG平面BCE.同理可证,PG平面BCE.又PGQG=G,平面PQG平面BCE,PQ平面BCE.(2)M为EF中点,EM=MF=EF=AB=2,又ABEF,四边形ABEM是平行四边形,AM=BE=2.在AFM中,AF=AM=2,MF=2,AMAF.又DA平面ABEF,AM平面ABEF,DAAM.DAAF=A,AM平面ADF.考点二 线面平行中探索性问题1.(2012北京西城二模)如图所示,四棱锥EABCD中,EA=EB,ABCD,ABBC,AB=2CD.(1)求证:ABED;(2)线段EA上是否存在点F,使D
21、F平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.(1)证明:取AB中点O,连接EO,DO,EA=EB,EOAB,ABCD,AB=2CD,BOCD.又因为ABBC,所以四边形OBCD为矩形,所以ABDO.因为EODO=O,所以AB平面EOD.所以ABED.(2)解:存在满足条件的点F, =,即F为EA中点时,有DF平面BCE.证明如下:取EB中点G,连接CG,FG.因为F为EA中点,所以FGAB,因为ABCD,CD=AB,所以FGCD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DFCG.因为DF平面BCE,CG平面BCE,所以DF平面BCE.2.(2012北京东
22、城区模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GNAC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP平面FMC,并给出证明.解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在ADF中,ADDF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为a3,表面积为a22+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)连接DB,FN,由四边形ABCD为正方形,且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且ACDN.又FDAD,FDCD,ADCD=D,FD平面ABCD.AC平面ABCD,FDAC.又DNFD=D,AC平面FDN
23、,又GN平面FDN,GNAC.(3)点P与点A重合时,GP平面FMC.取FC的中点H,连接GH,GA,MH.G是DF的中点,GHCD.又M是AB的中点,AMCD.GHAM且GH=AM,四边形GHMA是平行四边形.GAMH.MH平面FMC,GA平面FMC,GA平面FMC,即当点P与点A重合时,GP平面FMC.综合检测1.(2013山东潍坊高考模拟考试)如图所示,四边形ABCD中,ABAD,ADBC,AD=6,BC=4,AB=2,点E、F分别在BC、AD上,EFAB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC,设AD中点为P.(1)当E为BC中点时,求证:CP平面ABEF;(2)设B
24、E=x,问当x为何值时,三棱锥ACDF的体积有最大值?并求出这个最大值.(1)证明:取AF的中点Q,连接QE、QP,则QPDF,又DF=4,EC=2,且DFEC,所以QPEC,即四边形PQEC为平行四边形,所以CPEQ,又EQ平面ABEF,CP平面ABEF,故CP平面ABEF.(2)解:因为平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,又AFEF,所以AF平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0x4),FD=6-x.故 =2(6-x)x=(6x-x2)=-(x-3)2+9=- (x-3)2+3,当x=3时,有最大值,最大值为3.2.(2013河北石家庄教学质检(二)如图所示,
25、已知三棱柱ABCA1B1C1,(1)若M、N分别是AB,A1C的中点,求证:MN平面BCC1B1;(2)若三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2,B1BA=B1BC=60,P为线段B1B上的动点,当PA+PC最小时,求证:B1B平面APC.证明:(1)连接AC1,BC1,则AN=NC1,因为AM=MB,所以MNBC1.又BC1平面BCC1B1,MN平面BCC1B1,所以MN平面BCC1B1.(2)将平面A1B1BA展开到与平面C1B1BC共面,A到A的位置,此时ABCB1为菱形,可知PA+PC=PA+PC,AC即为PA+PC的最小值,此时BB1AC,BB1PA,BB1PC,即BB1PA,BB1
26、PC,BB1平面PAC.3.(2013海口调研)如图所示,四棱锥PABCD的底面为正方形,侧棱PA底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.(1)求证:PB平面EFH;(2)求证:PD平面AHF.证明:(1)E、H分别是PA、AB的中点,EHPB.又EH平面EFH,PB平面EFH,PB平面EFH.(2)PA平面ABCD,PAAB.又ABAD,PAAD=A,AB底面PAD.又PD平面PAD,ABPD.RtPAD中,PA=AD=2,F为PD的中点,AFPD.又AFAB=A,AF平面AHF,AB平面AHF,PD平面AHF.4.(2012长春一模)如图所示,在底面为直
27、角梯形的四棱锥PABCD中,ADBC,PD平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4. (1)求证:BDPC;(2)求直线AB与平面PDC所成的角;(3)设点E在棱PC上, =,若DE平面PAB,求的值.(1)证明:由题意知,ABAD,AD=1,AB=,BD=2,BC=4,DC=2,则BC2=DB2+DC2,BDDC,PD平面ABCD,BDPD,而PDCD=D,BD平面PDC.PC在平面PDC内,BDPC.解:(2)如图所示,过D作DFAB交BC于F,过点F作FGCD交CD于G.PD平面ABCD,平面PDC平面ABCD,FG平面PDC,FDG为直线AB与平面PDC所成的角.在RtDFC中,DFC=90,DF=,CF=3,tanFDG=,FDG=60.直线AB与平面PDC所成角为60.(3)连接EF,DFAB,DF平面PAB.DE平面PAB,平面DEF平面PAB,EFAB,如图所示,AD=1,BC=4,BF=1,=,=,即=.