1、 直接证明与间接证明高考试题考点一 直接证明1.(2009年宁夏卷,文22)如图,已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H,B=60,F在AC上,且AE=AF.(1)证明:B,D,H,E四点共圆;(2)证明:CE平分DEF.证明:(1)在ABC中,B=60,BAC+BCA=120.AD,CE是角平分线,HAC+HCA=60,AHC=120.EHD=AHC=120.EBD+EHD=180,B,D,H,E四点共圆.(2)如图所示,连结BH,则BH为ABC的平分线,得HBD=30.由(1)知B,D,H,E四点共圆,CED=HBD=30.又AEH=EBD=60,AE=AF,AH平分EAF,EFAD
2、.可得CEF=30.CE平分DEF.2.(2010年浙江卷,文21)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,bR,ab).(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3x1,x3x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.(1)解:当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2(x-2),f(x)=(x-1)(3x-5),故f(2)=1.又f(2)=0,所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.(2)证明:由题意得f(x)=3(x-
3、a)(x-),由于ab且a,bR,故a,所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.不妨设x1=a,x2=,因为x3x1,x3x2,且x3是f(x)的零点,故x3=b.又因为-a=2(b-),x4=(a+)=,此时a, ,b依次成等差数列,所以存在实数x4满足题意,且x4=.考点二 间接证明1.(2010年江西卷,文22)正实数数列an中,a1=1,a2=5,且成等差数列.(1)证明:数列an中有无穷多项为无理数;(2)当n为何值时,an为整数?并求出使an24k,故an-24k1,an+24k1,与(an-24k)(an+24k)=1矛盾,所以an=(kN*)都是无理数,即数列an中有无穷多项为
4、无理数.(2)解:要使an为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知:an-1,an+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数,所以有an-1=6m或an+1=6m.当an=6m+1时,有=36m2+12m+1=1+12m(3m+1)(mN).又m(3m+1)必为偶数,所以an=6m+1(mN)满足=1+24(n-1),即n=+1(mN)时,an为整数;同理an=6m-1(mN*)时,有=36m2-12m+1=1+12m(3m-1)(mN*)也满足=1+24(n-1),即n=+1(mN*)时,an为整数;显然an=6m-1(mN*)和an=6m+1(mN)是数列中的不同项,所以当n=+1
5、(mN)和n=+1(mN*)时,an为整数.由an=6m+1200(mN)有0m33,由an=6m-1200(mN*)有1m33.设an中满足an200的所有整数项的和为S,则S=(1+7+13+199)+(5+11+197)=34+33=6733.2.(2009年辽宁卷,文19)如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.(1)若CD=2,平面ABCD平面DCEF,求MN的长;(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.(1)解:取CD的中点G,连结MG,NG.因为四边形ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MGCD,MG=2,NG=.
6、因为平面ABCD平面DCEF,所以MG平面DCEF.可得MGNG.所以MN=.(2)证明:假设直线ME与BN共面,则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由题意知两正方形不共面,故AB平面DCEF.又ABCD,所以AB平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以ABEN.又ABCDEF,所以ENEF,这与ENEF=E矛盾,故假设不成立.所以ME与BN不共面,它们是异面直线.模拟试题考点一 直接证明1.(2012丰台质检)函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是()(A)f(2.5)
7、f(1)f(1)f(3.5)(C)f(3.5)f(2.5)f(1)(D)f(1)f(3.5)f(2.5)解析:因为函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,所以直线x=2是对称轴,在(2,4)上为减函数,则f(2.5)f(1)f(3.5).故选B.答案:B2.(2012威海期末)若P=+,Q=+(a0),则P、Q的大小关系是()(A)PQ(B)P=Q(C)PQ(D)由a的取值确定解析:要证PQ,只需证P2Q2,即证2a+7+22a+7+2,只需证a2+7aa2+7a+12,只需证012成立,012成立,P0,则下列不等式中正确的是()(A)b-a0(B)a3+b30
8、(C)a2-b20解析:a-|b|0,|b|0,-ab0.答案:D考点二 间接证明1.(2012厦门质检)如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,那么()(A)A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形(B)A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形(C)A1B1C1是钝角三角形,A2B2C2是锐角三角形(D)A1B1C1是锐角三角形,A2B2C2是钝角三角形解析:由条件知,A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形,假设A2B2C2是锐角三角形,由得则A2+B2+C2=,这与三角形内角和为180相矛盾,所以假设不成立,所以A2B2C2是钝
9、角三角形或直角三角形.假设A2B2C2是直角三角形,则直角的正弦值为1,则A1B1C1某角余弦值为1,这与三角形余弦值不可能为1矛盾,所以A2B2C2不可能是直角三角形,即A2B2C2是钝角三角形.故选D.答案:D2.(2012九江模拟)用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是()(A)假设三个内角都不大于60度(B)假设三个内角都大于60度(C)假设三个内角至多有一个大于60度(D)假设三个内角有两个大于60度解析:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,对“三角形的内角中至少有一个不大于60度”的否定,即“三个内角都大于60度”.答案:B综合检测1.(
10、2011遵义一模)设a,b,c,d(0,+),若a+d=b+c且|a-d|b-c|,则有()(A)ad=bc(B)adbc(D)adbc解析:|a-d|b-c|,(a-d)2(b-c)2,即a2+d2-2ad0,(a+d)2=(b+c)2,即a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,-4adbc.答案:C2.(2012中山质检)设x0,y0,a=x+y,b=,则a与b的大小关系是.解析:当sin =0时,cos2=1,b=xx+y=a即ba,当cos =0时,sin2=1,b=yx+y=a,即b0,y0,xx+y,yx+y,b=x+y=a.综上ba.答案:ba3.(2011湛江一模)命题:“若空
11、间两条直线a,b分别垂直平面,则ab”,学生小夏这样证明:设a,b与平面分别相交于A,B,连接AB,a,b,AB,aAB,bAB,ab.这里的证明有两个推理,即:和,老师认为小夏的推理证明不正确,这两个推理中不正确的是.解析:在空间中,垂直于同一条直线的两条直线不一定相互平行,故错误.答案:4.(2011包头二模)凸函数的性质定理:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,xn,有f,已知函数y=sin x在区间(0,)上是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为.解析:f(x)=sin x在区间(0,)上是凸函数,且A,B,C(0,),f=f,即sin A+sin B+sin C3sin=,sin A+sin B+sin C的最大值为.答案: