1、天津市滨海新区大港太平村中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）第卷 选择题 （60分）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题根据交集的运算直接计算即可.【详解】集合，则， 故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，是基础题.2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定：将，同时否定结论即可知答案；【详解】由特称命题的否定，知：“，”的否定
2、是“，”，故选：D；【点睛】本题考查了特称命题的否定，条件中存在变任意，并否定结论即可，属于简单题；3. 若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出， 、的图像可得.【详解】由指数函数， 、对数函数的图像知：， ，故选：A.【点睛】此题考利用图像比较实数的大小，属于简单题.4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A. 0.14B. 0.36C. 0.72D. 0.86【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的对称性知图象关于1对称，即有；【详解】由服从正态分布，知：概率分布图象关于1对称，；故选：A【点睛】本题考查了正态分布，利用正态分布的对称性求指定区
3、间的概率，属于简单题；5. 下列函数在上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的单调性逐一判断即可.【详解】在上单调递增，不合题意；在上单调递增，不合题意；在上单调递减，符合题意；在上单调递增，不合题意；故选：C.【点睛】本题主要考查幂函数的单调性，熟练掌握幂函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.6. 已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依次判断区间端点的函数值的正负，根据零点存在性定理，得到答案.【详解】， ， ， ，根据零点存在性定理可知函数的零点必在区间.故选：B【点睛】本题考查零点存在性定理，意
4、在考查基本的判断方法，属于简单题型.7. 的展开式中的系数是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：的系数为故选D考点：二项式定理的应用8. 已知，则“”是“是偶函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为是偶函数，所以所以.所以“”是“是偶函数”的充要条件.故选C.9. 在一次医疗救助活动中，需要从医院某科室的6名男医生、5名女医生中分别抽调2名男医生、4名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A. 150种B. 75种C. 70种D. 60种【答案】B【解析】【分析】由题意利用排列组合公式即
5、可确定不同的选派案方法种数.【详解】由6名男医生、5名女医生中分别抽调2名男医生、4名女医生，故选派的方法为：.故选：B.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置），本题考查组合数的计算，属于基础题.10. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除A和B，代入特值排除C，可得选项【详解】因为，是奇函数，排除A和B，又，排除C，故选：D.【点睛】本题考查函数的图象，考查函数奇偶性的应
6、用，属于中档题11. 已知函数在上有最大值是4，则实数的值为（ ）A. -1或3B. -4或0C. -1或0D. -4或3【答案】C【解析】【分析】分二次函数的图象的对称轴比较靠近所给的闭区间的左侧、比较靠近所给的闭区间的右侧两种情况，分别利用二次函数的性质结合函数的最大值为4，求得的值，综合可得结论.【详解】解:函数在区间上的最大值是4,区间的中点为, 二次函数的图象的图象的对称轴为, 当时,即时, 在区间上的最大值为,.当时,即时, 在区间上的最大值为,求得, 综上可得,或, 故答案为:0或.【点睛】本题主要考查了二次函数的动轴定区间求解参数问题，属于中档题.12. 已知函数是定义在上的奇
7、函数，其导函数为，当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，根据当时，可得单调递增，根据是定义在上的奇函数，可得是上的偶函数，进而得出，进一步转化为，再结合，即可求出解集.【详解】令，当时，所以，即单调递增，又，所以当时，因为是定义在上的奇函数，所以是上的偶函数，不等式也即，也即，所以，所以，解得：，又因为，所以，由得：，所以不等式的解集为：故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数研究单调性，构造法、方程与不等式的解法，等价转化方法，属于中档题.第卷（90分）二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析
8、】由对数的真数大于零，即可求解.【详解】函数有意义须，所以函数的定义域为.故答案为:.【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.14. 已知幂函数（为常数）的图象经过点，则实数_.【答案】2【解析】【分析】幂函数过点即可求值；【详解】由题意知：，即有；故答案为：2【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数过定点求幂指数，属于简单题；15. 已知为自然对数的底数.函数的导函数为，则_.【答案】1【解析】【分析】求导，代入可得答案.【详解】因为，所以，所以，故答案为：1.【点睛】本题考查求导函数的值，属于基础题.16. 在回归分析中，可以用来刻画回归的效果.现用线性回归模型研究甲、乙、丙3组不同数据相关性
9、的过程中，计算得到甲、乙、丙3组数据对应的的值分别为0.92、0.79、0.61，其中_（填甲、乙、丙中的一个）组数据线性回归效果最好.【答案】甲【解析】【分析】相关指数越大，则线性回归效果更好，观察可得结果.【详解】相关指数越大，则线性回归效果更好，所以甲组数据的线性回归效果更好.故答案为：甲.【点睛】本题主要考查相关指数，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.17. 5名同学排成一排照相.（i）一共有_种不同的排法；（ii）如果同学甲一定要站在中间，则有_种不同的排法.（用数字作答）【答案】 (1). 120 (2). 24【解析】【分析】（i）5名同学全排列即可得到一共由多少种不
10、同的排法；（ii）先让同学甲站在中间，其余4人全排列即可.【详解】5名同学排成一排照相一共有种不同的排法；先让同学甲站在中间，其余4人全排列，共有种排法，故答案为：120，24.【点睛】本题主要考查有限制元素的排列问题，考查了计算能力，属于基础题.18. 有10件产品，其中4件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽取2件产品.（i）第1次抽到次品的概率为_；（ii）在第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】抽到每件产品的可能性相同，直接做比即可；考虑剩余产品数目和剩余次品数目再做比例可求得答案.【详解】设第一次抽到次品的事件为，第二
11、次抽到次品的事件为.因为有10件产品，其中4件是次品，抽到每件产品的可能性相同，所以第一次抽到次品的概率为.第一次抽到次品后，剩余件产品，其中有件次品，又因为抽到每件产品的可能性相同，所以在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率为.故答案为：；.【点睛】本题考查古典概型和条件概率，属于基础题.19. 已知函数在处取得极值.（i）_.（ii）若函数在上不具有单调性，则实数的取值范围为_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】利用导数在某点有极值就在这点的导数值为0可得第一空答案；利用导函数的值有正有负找到使之成立的条件即可得到第二空的答案.【详解】 ，因为函数在处取得极值， 所以
12、，即；若函数在上不具有单调性，则的值有正有负， 即的值有正有负如下图所以，解得，故答案为：2；.【点睛】本题考查了函数极值、单调性的问题，考查导数的应用.20. 已知函数.（i）_；（ii）若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为_.【答案】 (1). 0 (2). 【解析】【分析】直接根据函数解析式计算可得；作出的图象，由题意可得的图象和直线有两个交点，设的图象恒过定点，讨论，时，求得直线与的图象相切的切点和切线的斜率，可得直线与的图象有两个交点的的范围；设，结合图象可得所求的范围【详解】解：因为，所以，所以作出的图象，关于的方程有两个不同的实数根，可得的图象和直线有两个交点，设的
13、图象恒过定点，时，的导数为，曲线在处切线过点，又在处的切线方程为，将代入可得，解得，；结合图象可得时，的图象与直线有两个交点；当时，的导数为，设在处的切线过点，又在处的切线方程为，将代入可得，解得，结合图象可得时，的图象与直线有两个交点；设，由图象可得时，的图象与直线有两个交点综上可得的范围是故答案为：；【点睛】本题考查分段函数的图象和应用，考查导数的几何意义，以及恒过定点的直线，考查分类讨论思想，属于难题三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为.（）
14、求恰好摸到2个白球的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（）；（）分布列见解析，.【解析】【分析】（）“恰好摸到2个白球”即：摸出3个球为2个白球和1个红球.根据组合公式和古典概率公式可得答案.（）随机变量的所有可能取值为0，1，2，由分别求出随机变量取每一个值的概率，可得出随机变量的分布列，再由离散型分布列的期望公式可求得随机变量的数学期望.【详解】（）“恰好摸到2个白球”即：摸出的3个球为2个白球和1个红球.则.（）随机变量的所有可能取值为0，1，2，则，；又，所以，随机变量的分布列为012随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查组合知识，古典概率公式，离散型随机变量的分布列和数
15、学期望，属于中档题.22. 已知函数，.（）求函数的单调区间；（）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（）的单调递减区间是，单调递增区间是和；（）在上的最大值为3，最小值为-1.【解析】【分析】（1）利用导数求的单调区间即可；（2）结合（1）的单调性即可知，结合的端点值即可确定上的最大值和最小值；【详解】（），.当，即或时，函数单调递增.令，即时，函数单调递减.函数的单调递减区间是，单调递增区间是和.（）由（）知函数区间上单调递减，在上单调递增.所以函数的极小值也为最小值.两端点，即最大值为.故函数在上的最大值和最小值分别为3和-1.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，根据单调区间以及
16、指定区间的端点值求该区间的最值，属于简单题；23. 某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，并且遇到红灯的概率都是.（）求这名学生在上学路上到第3个路口时首次遇到红灯的概率；（）设为这名学生在上学路上遇到红灯的次数，求的分布列和期望；（）求这名学生在上学路上至少遇到1次红灯的概率.【答案】（）；（）分布列见解析，1；（）.【解析】【分析】（1）由题意知“学生在第1和第2个路口没有遇到红灯，在第3个路口遇到红灯”应用乘法公式求概率即可；（2）根据独立事件，结合二项分布有，进而利用二项分布公式求概率，并得到分布列和期望；（3）应用对立事件：“没有遇到红灯”的概率，求“
17、至少遇到1次红灯”的概率即可；【详解】（）设这名学生在上学路上到第3个路口时首次遇到红灯为事件，事件等于事件“这名学生在第1和第2个路口没有遇到红灯，在第3个路口遇到红灯”.（）因为这名学生在各路口是否遇到红灯是相互独立的，并且遇到红灯的概率都是，故.从而，.所以随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望为.（或）（）这名学生在上学路上至少遇到1次红灯的概率为：.【点睛】本题考查了概率，应用乘法公式求独立重复事件的概率，根据二项分布求概率并得到分布列以及期望，最后利用对立事件求概率；24. 已知函数，.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若函数有两个零点，（i）求实数的取值范围；（ii）是
18、否存在实数，对于符合题意的任意，当时均有？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）；（）（i）；（ii）存在，.【解析】【分析】（）当时，求导，求得切线斜率，运用直线的点斜式方程可得答案.（）（i）求导.分当时，当两种情况分析导函数取得正负的区间，得出原函数的单调性，可求得实数的取值范围；（ii）由（i）得，则，由已知得，将问题转化为，再通过构造函数，求导，分析函数的单调性，可求得的值.【详解】（）由得：，则，则切线斜率，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（）（i），.当时，对恒成立，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件.当，时，函数在单调递增，在单调递减，要使函数有两个零点，首先要满足，解得：.下面说明时，在和上存在即可，又，下面证明，令，即证，.又，在单调递减，综上可知：实数的取值范围为；（ii）由（i）可知，则，由，的任意性及知，且，故，又，令，则，且恒成立，令，而，时，时，.，令，若，则时，即函数在单调递减，与不符；若，则时，即函数在单调递减，与不符；若，解得，此时恒成立，即函数在单调递增，又，时，；时，符合式，综上，存在唯一实数符合题意.【点睛】本题考查求函数在一点的切线方程，运用导函数研究函数的零点个数的相关问题，不等式恒成立中求参数的值或范围，属于难题.