1、第六节简单的三角恒等变换考点一 三角函数式的化简 基础送分型考点自主练透考什么怎么考三角函数式的化简是三角函数的基本考点之一，一般涉及诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式及三角函数的恒等变形，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于基础题.1化简：sin 22cos2sin4_.解析：原式2sin cos 2cos222 sin cos 2 2cos.答案：2 2cos 2化简：sin2sin 2cos()解：原式sin22sin cossin sin2sin cossin sin coscos sin2sin cossin cos sinsin cossin sinsin sin s
2、in.怎样快解准解1三角函数式的化简要遵循“三看”原则2三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次考点二 三角函数式的求值 题点多变型考点追根溯源三角函数式的求值是三角函数的基本考点，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简与求值，属于基础题.,常见的命题角度有：,1给角求值；,2给值求值；,3给值求角.题点全练角度(一)给角求值1(2018新疆第二次适应性检测)cos 101 3tan 10cos 50的值是_解析：依题意得cos 101 3tan 10cos 50cos 1
3、0 3sin 10cos 502sin1030cos 502sin 40sin 402.答案：2题型技法 三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值角度(二)给值求值2已知 tan 2.(1)求 tan4 的值；(2)求sin 2sin2sin cos cos 21的值解：(1)tan4 tan tan 41tan tan 4 211213.(2)sin 2sin2sin cos cos 212sin cos sin2sin co
4、s 2cos22tan tan2tan 2 224221.题型技法 解三角函数的给值求值问题的基本步骤(1)先化简所求式子或所给条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值角度(三)给值求角3若 sin 2 55，sin()1010，且 4，32，则 的值是()A.74 B.94C.54 或74D.54 或94解析：选 A 4，22，2，sin 2 55，22，.4，2 且 cos 22 55，又sin()1010，32，2，54，cos()3 1010，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 23 10102 55 1010 55
5、22，又 54，2，所以 74.题型技法 三角函数给值求角问题的解题策略对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是0，2，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为2，2，选正弦函数较好题“根”探求看个性角度(一)“给角求值”的解题关键是两种变换：角的变换、结构变换；角度(二)“给值求值”的解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；角度(三)“给值求角”实质上也转化为角度(一)“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
6、由所得的函数值结合该函数的单调性求角找共性研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解冲关演练1.2sin2351cos 10 3sin 10的值为()A1 B1C.12D12解析：选 D 原式2sin2351212cos 10 32 sin 10cos 702sin 20 12.2已知 2tan sin 3，2，0，则 cos6 的值是()A0 B.22C1 D.12解析：选 A 由 2tan sin 3，得2sin2cos 3，即 2cos23cos 20，cos 12或 cos 2(舍去)20，sin 32，cos6
7、 cos cos6sin sin60.3已知锐角，满足 sin 55，cos 3 1010，则 等于()A.34B.4或34C.4D2k4(kZ)解析：选 C 由 sin 55，cos 3 1010，且，为锐角，可知 cos 2 55，sin 1010，故 cos()cos cos sin sin 2 55 3 1010 55 1010 22，又 0，故 4.考点三 三角恒等变换的综合应用 重点保分型考点师生共研三角恒等变换的综合应用是高考的重点，考查时多与三角函数的图象与性质、平面向量、解三角形等知识综合命题，难度中等.典题领悟(2018长春模拟)设函数 f(x)3sin xcos xcos
8、2 xa.(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)当 x6，3 时，函数 f(x)的最大值与最小值的和为32，求实数 a 的值思维路径由题给条件想到利用恒等变换把函数化为 f(x)Asin(x)b 的形式；由第(1)问想到在 0 的前提下，利用周期公式 T2 即可计算出函数 f(x)的最小正周期，再利用22kx22k(kZ)解出这个不等式即为函数 f(x)的单调递增区间；由第(2)问想到由 x6，3 计算出 ux 的取值范围，然后结合函数 ysin u 的图象确定函数 f(x)的最小值和最大值，列式求出 a 的值解：(1)因为 f(x)3sin xcos xcos2xa 32
9、sin 2x12(1cos 2x)a 32 sin 2x12cos 2xa12sin2x6 a12.所以函数 f(x)的最小正周期 T22.令22k2x622k(kZ)，解得3kx6k(kZ)，故函数 f(x)的单调递增区间为3k，6k(kZ)(2)因为6x3，所以62x656，当 2x66时，函数 f(x)取得最小值，即 f(x)min12a12a；当 2x62时，函数 f(x)取得最大值，即 f(x)max1a12a32.所以 aa3232，所以 a0.解题师说三角恒等变换在研究三角函数性质中的 2 个注意点(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成 f(x)Asin(x)b 的形式再求解要
10、注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现 及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期冲关演练已知函数 f(x)5sin xcos x5 3cos2x5 32(其中 xR)，求：(1)函数 f(x)的单调区间；(2)函数 f(x)图象的对称轴和对称中心解：(1)因为 f(x)52sin 2x5 32(1cos 2x)5 32 512sin 2x 32 cos 2x 5sin2
11、x3，由 2k22x32k2(kZ)，得 k 12xk512(kZ)，所以函数 f(x)的单调增区间为k 12，k512(kZ)由 2k22x32k32(kZ)，得 k512xk1112(kZ)，所以函数 f(x)的单调减区间为k512，k1112(kZ)(2)由 2x3k2(kZ)，得 xk2 512(kZ)，所以函数 f(x)的对称轴方程为 xk2 512(kZ)由 2x3k(kZ)，得 xk2 6(kZ)，所以函数 f(x)的对称中心为k2 6，0(kZ)(一)普通高中适用作业A 级基础小题练熟练快1(2016全国卷)若 tan 13，则 cos 2()A45 B15C.15D.45解析
12、：选 D cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan2，又tan 13，cos 211911945.2化简：cos 40cos 25 1sin 40()A1 B.3C.2D2解析：选 C 原式cos220sin220cos 25cos 20sin 20cos 20sin 20cos 25 2cos 25cos 25 2，故选 C.3函数 f(x)2sin24x 3cos 2x 的最大值为()A2 B3C2 3D2 3解析：选 B f(x)1cos 24x 3cos 2xsin 2x 3cos 2x12sin2x3 1，可得 f(x)的最大值是 3.4已知 sin6 cos6，
13、则 cos 2()A1 B1C.12D0解析：选 D sin6 cos6，12cos 32 sin 32 cos 12sin，即12 32 sin 12 32 cos，tan sin cos 1，cos 2cos2sin2cos2sin2sin2cos21tan2tan210.5已知 sin 22425，02，则2cos4 的值为()A.15B15C15D.75解析：选 D 因为 sin 22425，所以(sin cos)21sin 24925.因为 02，所以sin cos 75.所以2cos4 2 22(cos sin)75.6若 sin()sin cos()cos 45，且 为第二象限角
14、，则 tan4()A7 B.17C7 D17解析：选 B sin()sin cos()cos 45，即cos()cos 45，即 cos 45.又 为第二象限角，tan 34，tan4 1tan 1tan 17.7函数 ysin62x cos 2x 的最大值为_解析：因为 ysin62x cos 2x12cos 2x 32 sin 2xcos 2x32cos 2x 32 sin 2x 3cos2x6，故最大值为 3.答案：38在ABC 中，sin(CA)1，sinB13，则 sin A_.解析：sin(CA)1，CA90，即 C90A，sinB13，sinBsin(AC)sin(902A)co
15、s 2A13，即 12sin2A13，sin A 33.答案：339化简：1tan 2tan2 1tan tan 2 _.解析：原式cos2 2sin2 2sin2cos21sin cos sin2cos2cos22sin22sin2cos2cos cos2sin sin 2cos cos 22cos sin cos2cos cos2 2sin.答案：2sin 10已知方程 x23ax3a10(a1)的两根分别为 tan，tan，且，2，2，则 _.解析：由已知得 tan tan 3a，tan tan 3a1，tan()tan tan 1tan tan 1.又，2，2，tan tan 3a0，
16、tan tan 3a10，tan 0，tan 0，2，0，(，0)，34.答案：34B 级中档题目练通抓牢1在斜三角形 ABC 中，sin A 2cos Bcos C，且 tanBtan C1 2，则角 A的大小为()A.4B.3C.2D.34解析：选 A 由题意知，sin A 2cos B cos Csin(BC)sinB cos Ccos Bsin C，在等式 2cosB cos CsinB cos Ccos B sin C 两边同除以 cosB cos C 得 tanBtan C 2，所以 tan(BC)tan Btan C1tan Btan C1tan A，即 tan A1，所以 A4
17、.2已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2()A.43B.34C34D43解析：选 C 因为 sin 2cos 102，所以 sin24cos24sin cos 104(sin2cos2)，整理得 3sin23cos28sin cos 0，则3cos 24sin 2，所以 tan 234.3(2018合肥质检)已知函数 f(x)sin4xcos4x，x4，4.若 f(x1)f(x2)，则一定有()Ax1x2Cx21x22解析：选 D f(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x14cos 4x34，4x，所以函数 f(x)是偶函数，且在0，4 上单调
18、递减，根据 f(x1)f(x2)，可得 f(|x1|)|x2|，即 x21x22.4计算 cos 10 3cos1001sin 10_(用数字作答)解 析：cos 10 3cos1001sin 10 cos 10 3cos 801cos 80 cos 10 3sin 102sin 402sin10302sin 40 2.答案：25已知 cos 17，cos()1314，且 02，则 _.解析：由 cos 17，02，得 sin 1cos21 1724 37，由 02，得 02，又cos()1314，sin()1cos21131423 314.由()，得 cos cos()cos cos()si
19、n sin()1713144 37 3 314 12.3.答案：36已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(3，3)(1)求 sin 2tan 的值；(2)若函数 f(x)cos(x)cos sin(x)sin，求函数 g(x)3f22x 2f 2(x)在区间0，23 上的值域解：(1)角 的终边经过点 P(3，3)，sin 12，cos 32，tan 33.sin 2tan 2sin cos tan 32 33 36.(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，g(x)3cos22x 2cos2x 3sin 2x1cos 2x2sin2x6
20、 1.0 x23，62x676.12sin2x6 1，22sin2x6 11，故函数 g(x)3f22x 2f2(x)在区间0，23 上的值域是2,17已知函数 f(x)2cos2x12 3sin xcos x(01)，直线 x3是函数 f(x)的图象的一条对称轴(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)已知函数 yg(x)的图象是由 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再向左平移23 个单位长度得到的，若 g23 65，0，2，求 sin 的值解：(1)f(x)cos 2x 3sin 2x2sin2x6，由于直线 x3是函数 f(x)2sin2x6 的图象的一条对称轴，
21、所以23 6k2(kZ)，解得 32k12(kZ)，又 01，所以 12，所以 f(x)2sinx6.由 2k2x62k2(kZ)，得 2k23 x2k3(kZ)，所以函数 f(x)的单调递增区间为 2k23，2k3(kZ)(2)由题意可得 g(x)2sin12x23 6，即 g(x)2cosx2，由 g23 2cos12232cos6 65，得 cos6 35，又 0，2，故6623，所以 sin6 45，所以 sin sin6 6 sin6 cos6cos6 sin64532 35124 3310.C 级重难题目自主选做如图，现要在一块半径为 1，圆心角为3的扇形铁片 AOB 上剪出一个平
22、行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，设BOP，平行四边形 MNPQ 的面积为 S.(1)求 S 关于 的函数关系式；(2)求 S 的最大值及相应的 的大小解：(1)分别过 P，Q 作 PDOB 于点 D，QEOB 于点 E，则四边形 QEDP 为矩形由扇形半径为 1，得|PD|sin，|OD|cos.又|OE|33|QE|33|PD|，|MN|QP|DE|OD|OE|cos 33 sin，S|MN|PD|cos 33 sin sin sin cos 33 sin2，0，3.(2)由(1)知 S12sin 2 36(1cos 2)12si
23、n 2 36 cos 2 36 33 sin26 36，因为 0，3，所以 266，56，所以 sin26 12，1.当 6时，S 取最大值，且 Smax 36.(二)重点高中适用作业A 级保分题目巧做快做1.若 tan 3，则 sin 21cos 2()A.3 B 3C.33D 33解析：选 A sin 21cos 22sin cos 2cos2tan 3.2化简：cos 40cos 25 1sin 40()A1 B.3C.2D2解析：选 C 原式cos220sin220cos 25cos 20sin 20cos 20sin 20cos 25 2cos 25cos 25 2，故选 C.3函数
24、 f(x)2sin24x 3cos 2x 的最大值为()A2 B3C2 3D2 3解析：选 B f(x)1cos24x 3cos 2xsin 2x 3cos 2x12sin2x3 1，可得 f(x)的最大值是 3.4已知 sin 22425，02，则2cos4 的值为()A.15B15C15D.75解析：选 D 因为 sin 22425，所以(sin cos)21sin 24925.因为 02，所以sin cos 75.所以2cos4 2 22(cos sin)75.5在ABC 中，若 3(tanBtan C)tanBtan C1，则 sin 2A()A12B.12C 32D.32解析：选 D
25、 由两角和的正切公式知 tan(BC)tan Btan C1tan Btan Ctan Btan C 3tan Btan C 33，所以 tan A 33，又 A(0，)，所以 A6，所以 sin 2A 32.6在ABC 中，sin(CA)1，sinB13，则 sin A_.解析：sin(CA)1，CA90，即 C90A，sinB13，sinBsin(AC)sin(902A)cos 2A13，即 12sin2A13，sin A 33.答案：337.函数 ysin62x cos 2x 的单调递增区间为_，最大值为_解析：因为 ysin62x cos 2x12cos 2x 32 sin 2xcos
26、 2x32cos 2x 32 sin 2x 3cos2x6，由 2k2x62k，kZ，得 k712xk 12，kZ，故单调递增区间为k712，k 12(kZ)，最大值为 3.答案：k712，k 12(kZ)38.定义运算|a bc d adbc.若 cos 17，|sin sin cos cos 3 314，02，则 _.解析：依题意有 sin cos cos sin sin()3 314.又 02，00)的最小正周期为，则 f(x)在区间0，23 上的值域为()A.0，32B.12，32C.12，1D.32，12解析：选 A f(x)sin2x 3sin xsinx2 sin2x 3sin
27、xcos x 32 sin 2x12cos 2x12sin2x6 12，因为 T22，所以 1，即 f(x)sin2x6 12，当 x0，23 时，2x66，76，所以 sin2x6 12，1，故所求值域为0，32，故选 A.2.(2018江西赣中南五校模拟)已知 f(x)sin2 019x6cos2 019x3 的最大值为 A，若存在实数 x1，x2 使得对任意实数 x 总有 f(x1)f(x)f(x2)成立，则 A|x1x2|的最小值为()A.2 019B.22 019C.42 019D.4 038解析：选 B f(x)sin2 019x6 cos2 019x3 sin 2 019xcos
28、 6cos 2 019xsin 6cos 2 019xcos 3sin 2 019xsin 3 32 sin 2 019x12cos 2 019x12cos 2 019x 32 sin 2 019x 3sin 2 019xcos 2 019x2sin2 019x6，f(x)的最大值为 A2；由题意，得|x1x2|的最小值为T22 019，A|x1x2|的最小值为 22 019.故选 B.3计算 cos 10 3cos1001sin 10_(用数字作答)解 析：cos 10 3cos1001sin 10 cos 10 3cos 801cos 80 cos 10 3sin 102sin 402si
29、n10302sin 40 2.答案：24已知，0，2，tan()9tan，则 tan 的最大值为_解析：，0，2，tan 0，tan 0，tan tan()tantan 1tantan 8tan 19tan281tan 9tan 82343当且仅当1tan 9tan 时等号成立，tan 的最大值为43.答案：435已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(3，3)(1)求 sin 2tan 的值；(2)若函数 f(x)cos(x)cos sin(x)sin，求函数 g(x)3f22x 2f 2(x)在区间0，23 上的值域解：(1)角 的终边经过点 P(3，3)，s
30、in 12，cos 32，tan 33.sin 2tan 2sin cos tan 32 33 36.(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，g(x)3cos22x 2cos2x 3sin 2x1cos 2x2sin2x6 1.0 x23，62x676.12sin2x6 1，22sin2x6 11，故函数 g(x)3f22x 2f2(x)在区间0，23 上的值域是2,16.(2018湛江一模)已知函数 f(x)Acosx3(A0，0)图象相邻两条对称轴的距离为2，且 f(0)1.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设，0，4，f3 1013，f6 65，求 tan(22)的值解：(1)函数 f(x)Acosx3(A0，0)图象相邻两条对称轴的距离为2，T22，2，又 f(0)1，12A1，A2，f(x)2cos2x3.(2)0，4，f3 2cos23 32cos(2)2cos 21013，cos 2 513，sin 2 1cos221213，则 tan 2sin 2cos 2125.0，4，f6 2cos26 3 2cos 265，cos 235，sin 21cos2245，则 tan 2sin 2cos 243.tan(22)tan 2tan 21tan 2tan 2125 431125 431663.