1、广东省燕博园2021届高三数学综合能力测试试题（一）（含解析）一、单选题（共8小题）.1已知集合AxZ|x|5，Bx|2x4，则AB（）A（2，5）B2，5）C2，3，4D3，4，52已知点A（4，9），B（6，3），则以线段AB为直径的圆的方程为（）A（x+4）（x6）+（y9）（y+3）61B（x+4）（x6）+（y9）（y+3）0C（x4）（x+6）+（y+9）（y3）61D（x4）（x+6）+（y+9）（y3）03下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）ABCyexexDylog2|x|4已知正六边形ABCDEF中，（）ABCD5若（1+）5a+b（a，bQ），则a+
2、b（）A60B70C80D906曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调其初始四音为宫、徵、商、羽我国古代定音采用律管进行“三分损益法”将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”可得羽音则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（）ABCD7已知函数f（x）Asin（x+）（A，均为正常数），相邻两个零点的差为，对任意x，恒成立，则下列结论正确的是（）Af（2）f（2
3、）f（0）Bf（0）f（2）f（2）Cf（2）f（0）f（2）Df（2）f（0）f（2）8若函数（e为自然对数的底数）是减函数，则实数a的取值范围是（）Aa0Ba1Ca0D0a1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分9近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾，经分拣以后统计数据如表（单位：t）根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则
4、下列说法正确的是（）“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收垃圾3024030其他垃圾202060A厨余垃圾投放正确的概率为B居民生活垃圾投放错误的概率为C该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为1800010函数f（x）|x|+（aR）的图象可能是（）ABCD11已知方程x2siny2sin21，则（）A存在实数，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为B存在实数，该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线C存在实数，该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线，且双曲线的离心率为D存在实数
5、，该方程对应的图形是焦点在x轴上的椭圆，且椭圆的离心率为12三棱锥VABC中，ABC是等边三角形，顶点V在底面ABC的投影是底面的中心，侧面VAB侧面VAC，则（）A二面角VBCA的大小为B此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为C点V到平面ABC的距离与VC的长之比为D此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13复数z的虚部是 14数列an的前n项和为Sn，且a11，则a2+a4+a2n 15若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其表面积与体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为 ，该圆锥的内切球体积为 16据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗
6、虫灾害在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过 天，蝗虫数量会达到4000亿只（参考数据：lg20.30，lg30.48）四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an满足：，a13（1）求证：数列ln（an1）是等差数列，（2）求数列an的前n项和Sn18已知等腰三角形ABC，ABAC，D为边BC上的一点，DAC90，再从条件、条件、条件中选择两个作为已知，求A
7、BD的面积及BD的长条件AB6；条件；条件19如图，在直角梯形AEFB中，AEEF，且BFEF2AE4，直角梯形D1EFC1可以通过直角梯形AEFB以直角EF为旋转轴得到（1）求证：平面C1D1EF平面BC1F；（2）若二面角C1EFB为，求直线C1E与平面ABC1所成角的正弦值20为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值（表中ui，）（xi）2（ui）2（yi）2（xi）（yiy）（ui）（yi）697.900.21600.1414.1226.131.40
8、（1）利用样本相关系数的知识，判断ya+bx与yc+哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？（2）根据（1）的结果回答下列问题：（i）建立y关于x的回归方程；（ii）样本对原点的距离x20时，金属含量的预报值是多少？（3）已知该金属在距离原点xm时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为W1000（ylnx）（1x100），根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），（tn，sn），其线性相关系数r，其回归直线s+t的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，21已知椭圆的右顶点为B，直线m：xy10过椭圆C的右焦点F，
9、点B到直线m的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的左顶点为A，M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点，以点F为圆心，过点M的圆与x轴的右交点为T，过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N，过点F作直线FEMT，交直线l于点E求的值22已知函数，aR（1）讨论f（x）的零点个数；（2）记方程xlnx1的根为c0，如果关于x的方程f（x）a有两个大于1的不等实数根，求a的取值范围参考答案一、单选题（共8小题）.1已知集合AxZ|x|5，Bx|2x4，则AB（）A（2，5）B2，5）C2，3，4D3，4，5解：AxZ|5x5，Bx|x2，ABxZ|2x52，3，4故选：C2已知点A（4，9），B（6，
10、3），则以线段AB为直径的圆的方程为（）A（x+4）（x6）+（y9）（y+3）61B（x+4）（x6）+（y9）（y+3）0C（x4）（x+6）+（y+9）（y3）61D（x4）（x+6）+（y+9）（y3）0解：点A（4，9），B（6，3），则以线段AB为直径的圆的圆心坐标为（ 1，3），半径为，故它的方程为（x1）2+（y3）261，即x2+y22x6y510而选项A即：即x22x24+y26y2761，即x2+y22x6y1120，故A错误；而选项B即：即x22x24+y26y270，即x2+y22x6y510，故B正确；而选项C即：即x2+2x24+y2+6y2761，即x2+y2+
11、2x+6y1120，故C错误；而选项D即：即x22x24+y26y2761，即x2+y22x6y1110，故D错误；故选：B3下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）ABCyexexDylog2|x|解：是非奇非偶函数；在（0，1）上单调递减；ylog2|x|是偶函数；yexex是奇函数，且在（0，1）上单调递增故选：C4已知正六边形ABCDEF中，（）ABCD解：如图，连接AD，BE，设AD与BE交于O点，则：，故选：D5若（1+）5a+b（a，bQ），则a+b（）A60B70C80D90解：因为（1+）5（1）2）2）（3+2）2）（17+12）（1+）17+24+294
12、1+29，所以a41，b29，则a+b70，故选：B6曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调其初始四音为宫、徵、商、羽我国古代定音采用律管进行“三分损益法”将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”可得羽音则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（）ABCD解：设以宫音为基音的律管长度为x，则徵音的律管长度为（1）x，商音的律管长度为，羽音的律管长度为，羽音律管长
13、度与宫音律管长度之比为，故选：C7已知函数f（x）Asin（x+）（A，均为正常数），相邻两个零点的差为，对任意x，恒成立，则下列结论正确的是（）Af（2）f（2）f（0）Bf（0）f（2）f（2）Cf（2）f（0）f（2）Df（2）f（0）f（2）解：函数f（x）Asin（x+）（A，均为正常数），相邻两个零点的差为，所以T，所以2，对任意x，恒成立，即Asin（）A，故，所以f（x）A故f（2）Asin（4+）Asin（）0，f（2）Asin（4+）0，f（0）AsinAsin0，由于，函数在（）上单调递减，故f（2）f（2）f（0）故选：A8若函数（e为自然对数的底数）是减函数，则实数a
14、的取值范围是（）Aa0Ba1Ca0D0a1解：函数的定义域为R，f（x），因为函数f（x）是减函数，所以f（x）0恒成立，令g（x）2axax21，则g（x）0恒成立，当a0时，g（x）1成立；当a0时，则g（x）的图象开口向上，g（x）0不恒成立，不符合题意；当a0时，要使g（x）0恒成立，则4a24a0，解得0a1，又a0，所以0a1综上可得，实数a的取值范围是0a1故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分9近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃
15、圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾，经分拣以后统计数据如表（单位：t）根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（）“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收垃圾3024030其他垃圾202060A厨余垃圾投放正确的概率为B居民生活垃圾投放错误的概率为C该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为18000解：对于A：厨余垃圾的投放的正确的概率为，故A正确；对于B：居民生活垃圾
16、的投放的错误概率，故B正确；对于C：该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是“可回收垃圾”，故C正确；对于D：厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数，所以，故D错误故选：ABC10函数f（x）|x|+（aR）的图象可能是（）ABCD解：根据题意，当a0时，f（x）|x|，（x0），其图象与选项A对应，当a0时，f（x），在区间（0，+）上，f（x）x+，其图象在第一象限先减后增，在区间（，0）上，f（x）为减函数，其图象与选项B对应，当a0时，f（x），在区间（0，+）上，f（x）为增函数，在区间（，0）上，f（x）x+（x）+，其图象在第二象限先减后增，其图象
17、与选项D对应，故选：ABD11已知方程x2siny2sin21，则（）A存在实数，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为B存在实数，该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线C存在实数，该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线，且双曲线的离心率为D存在实数，该方程对应的图形是焦点在x轴上的椭圆，且椭圆的离心率为解：对于A：若存在，只需sinsin20，即sin2sincos0，得，可取，方程即为：，圆的半径满足，故圆面积为：，故A错；对于B：令sin0，则必有sin22sincos0，方程化为：01，显然不成立，故B错误；对于C：取sinsin2，得cos，取，则方程为：，为等轴双曲线的方程，故离心率为
18、，故C正确；对于D：将方程化为标准形式：，故，则由已知得，整理得，解得，该方程显然有解，故D正确故选：CD12三棱锥VABC中，ABC是等边三角形，顶点V在底面ABC的投影是底面的中心，侧面VAB侧面VAC，则（）A二面角VBCA的大小为B此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为C点V到平面ABC的距离与VC的长之比为D此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为解：将该三棱锥放置在正方体当中，如图所示，设正方体的棱长为1.对于A，取BC的中点D，连接AD，VD，则ADV即为二面角VBCA的平面角，tanADV，则，故A错误；对于B，此三棱锥的侧面积为，底面积为，侧面积与底面积之和为，故B正确；对于C，在A
19、DV中，过点V作VEAD，垂足为E，可得VE平面ABC，VE，则点V到平面ABC的距离与VC的长之比为，故C正确；对于D，此三棱锥的体积，外接球的半径R，外接球的体积，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13复数z的虚部是解：z，z的虚部为，故答案为：14数列an的前n项和为Sn，且a11，则a2+a4+a2n解：由2SnSn+1可得：2SnSn+an+1，所以an+1Sn，则an+1anSnSn1an，即an+12an（n2），所以数列an从二项开始是公比为2的等比数列，且a2S11，所以a），则数列a2，a4，a2n是首项为1，公比为4的
20、等比数列，则a2+a4+a2n，故答案为：15若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其表面积与体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为3，该圆锥的内切球体积为36解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，内切球半径为R，由题可得：l2r，且3lR2rrRr，圆锥的表面积为：Sr2+rl3r2，圆锥的体积为：r2hr2r，3r2r2rr3，R33，该圆锥的内切球体积为：R336故答案为：3，3616据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会
21、增长为原来的10倍该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只（参考数据：lg20.30，lg30.48）解：由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍，设每天的增长率为a，则有（1+a）1510，解得，设经过x天后，蝗虫数量会达到4000亿只，则有1（1+a）x4000，所以，即，故，所以x54，故经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只故答案为：54四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an满足：，a13（1）求证：数列ln（an1）是等差数列，（2）求数列an的前n项和Sn【解答】（1）证明：，a13，an
22、12（an11），n2，又a112，an12n，ln（an+11）ln（an1）lnln2，数列ln（an1）是公差为ln2的等差数列；（2）解：由（1）知：an12n，an2n+1，Sn（2+22+23+2n）+n+n2n+12+n18已知等腰三角形ABC，ABAC，D为边BC上的一点，DAC90，再从条件、条件、条件中选择两个作为已知，求ABD的面积及BD的长条件AB6；条件；条件解：选，ABAC6，DAC90，cosBACcos（90+BAD）sinBAD，sinBAD，在ABC中，BC2AC2+AB22ABACcosBAC36+36266（）96，BC4，sinC，cosC，tanC，
23、在ADC中，ADACtanC3，CD3，SABDABADsinBAD3，BDBCDC43选，ABAC6，CD3，在ADC中，AD3，cosC，sinC在ABC中AB2BC2+AC22BCACcosC，36BC2+364BC，BC24BC0，BC4，BDBCDC43SABDSABCSACDACBCsinCADAC663选，CD3，cos2Ccos（180BAC）cosBAC，cos2C2cos2C1，cosC，ACCDcosC6，AD3，cosBACcos（90+BAD）sinBAD，sinBAD，SABDABADsinBAD3，在ABC中，BC2AC2+AB22ABACcosBAC36+362
24、66（）96，BC4，BDBCDC4319如图，在直角梯形AEFB中，AEEF，且BFEF2AE4，直角梯形D1EFC1可以通过直角梯形AEFB以直角EF为旋转轴得到（1）求证：平面C1D1EF平面BC1F；（2）若二面角C1EFB为，求直线C1E与平面ABC1所成角的正弦值【解答】（1）证明：在直角梯形AEFB中，AEEF，且直角梯形D1EFC1是通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转而得，所以D1EEF，所以BFEF，C1FEF，又BFC1FF，BF，C1F平面BC1F，所以EF平面BC1F，又EF平面C1D1EF，所以平面C1D1EF平面BC1F；（2）解：由（1）可知，BFEF，C1F
25、EF，因为二面角C1EFB为，所以C1FB，过点F作平面AEFB的垂线，建立空间直角坐标系如图所示，由BFEF2AE4，可得，所以，设平面ABC1的法向量为，则有，令z1，则，所以，所以直线C1E与平面ABC1所成角的正弦值为20为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值（表中ui，）（xi）2（ui）2（yi）2（xi）（yiy）（ui）（yi）697.900.21600.1414.1226.131.40（1）利用样本相关系数的知识，判断ya+bx与yc+哪
26、一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？（2）根据（1）的结果回答下列问题：（i）建立y关于x的回归方程；（ii）样本对原点的距离x20时，金属含量的预报值是多少？（3）已知该金属在距离原点xm时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为W1000（ylnx）（1x100），根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），（tn，sn），其线性相关系数r，其回归直线s+t的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，解：（1）ya+bx的线性相关系数r10.898，yc+的线性相关系数r20.996，|r1|r2|，yc+更适宜作
27、为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型（2）（i）10，97.9（10）0.21100，10010u100，y关于x的回归方程为100（ii）当x20时，金属含量的预报值为10099.5g/m3（3）W1000（ylnx）1000（100lnx），令f（x）100lnx，则f（x），当1x10时，f（x）0，f（x）单调递增；当10x100时，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）在x10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，故x为10时，开采成本最大21已知椭圆的右顶点为B，直线m：xy10过椭圆C的右焦点F，点B到直线m的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的左顶点
28、为A，M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点，以点F为圆心，过点M的圆与x轴的右交点为T，过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N，过点F作直线FEMT，交直线l于点E求的值解：（1）将y0代入直线m：xy10得x1，F（1，0），即c1，B（a，0）到直线m的距离为，解得a2，b2a2c23，椭圆C的方程为：（2）由题意可知A（2，0），B（2，0），F（1，0），设M的坐标为（x0，y0），则y00，点M在椭圆C上，|FM|，点M在椭圆C上，2x02，|FM|2，圆F过点M与点T，|FM|FT|2，点T（3，0），易求直线l的方程为x2，直线AM的方程为y（x+2），将xN2代入直线AM的方程得：
29、，故点N的坐标为，M（x0，y0），T（3，0），kMT，EFMT，kEF，直线EF的方程为：y（x1），将xE2代入得：yE，点E（2，）又B（2，0），|BE|yE|，|EN|yEyN|，122已知函数，aR（1）讨论f（x）的零点个数；（2）记方程xlnx1的根为c0，如果关于x的方程f（x）a有两个大于1的不等实数根，求a的取值范围解：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）（1，+），且f（x），令m（x）xalnx，则f（x）的零点个数等价于m（x）在（0，1）（1，+）的零点个数，由于m（x）1，所以m（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增，所以m（x）min
30、m（1）1a，所以当a1时，m（x）0恒成立，即f（x）的零点个数为0，当a1时，注意到m（）aln（）0，m（1）0，所以m（ea）eaalneaea2aea2a0，从而f（x）的零点个数为2（2）由题意可得f（x），因为当xmaxe2，a时，lnx1+lnx110，所以f（x）在（1，+）上不可能恒为负数，若f（x）0，在区间（1，+）上恒成立，即当x（1，+）时，lnx1+0恒成立，即axxlnx恒成立，令h（x）xxlnx，则h（x）lnx0，从而h（x）在区间（1，+）单调递减，又因为h（1）1，所以当f（x）0在区间（1，+）上恒成立时，a1，因为当a1时，lnx1+不可能恒为0，所以f（x）0，所以g（x）在（1，+）是增函数，所以f（x）在（1，+）上有唯一零点，不妨设x0，如果关于x的方程f（x）a有两个大于1的不等实数根，则f（x0）a，因为lnx01+0，所以1x01a，即x0a+1，所以ln（a+1）1+0，即ln（a+1），因为方程xlnx1的根为c0，c0e，且c0a1，即c01a，所以c01a1，又因为取1x1minx0，e时，2，所以1a20，所以f（x）在（1，x0），（x0，+）上有且只有一个根，满足题意，所以a的取值范围为（c01，1）
