1、第二章 平面向量7 向量应用举例第27课时 点到直线的距离公式、向量在几何中的应用基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.了解直线的法向量的概念，会求直线的法向量.2.理解用向量法推导点到直线距离公式的过程，掌握点到直线的距离公式.3.通过向量在几何中的应用举例，了解向量在平面几何、平面解析几何中的应用.基础巩固一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)1点(1，1)到直线 xy10 的距离是()A.12B.32C.22D.3 22D解析：由点到直线的距离公式，得 d|111|1212 3 22.2已知过点 A(2，m)和 B(m,4)的直线与直线 2xy10平行，则这两条平行直线间的距离
2、是()A.5 1313B.5 513C.13 135D.13 55D解析：由题意，知直线 2xy10 的一个法向量为 n(2,1)，AB(m2,4m)，ABn2(m2)4m0，m8，直线 AB 的方程为 2xy120，这两条平行直线间的距离 d|121|513 55.3已知直线 l 平行于向量 a(1,2)且过点(1,1)，则直线 l 不过()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限D解析：由题意知 l 的斜率 k2.又过点(1,1)，所以直线方程为 y12(x1)，即 y2x3，可知不过第四象限故选 D.4在ABC 中，若满足AB 2ABACBABCCA CB，则ABC 是()A等边三角形B
3、锐角三角形C钝角三角形D直角三角形D解析：因为AB 2ABACBABCCACB，所以AB 2AB(ACBC)CACBAB 2CACB，即CACB0，所以ACB2，故ABC 为直角三角形故选 D.5在ABC 中，A60，A 的平分线 AD 交边 BC 于点 D，已知 AB3，且AD 13ACAB(R)，则 AD 的长为()A1 B 3C2 3D3C解析：如图，过点 D 作 DGAB，DHAC，则AD AH AG，AG 13AC.AD 平分BAC，BADDAC30.DGAB，ADHDAH30，AHDH.同理，AGDG，ADHADG，AGDH13AC.又BDHBCA，BH13BA1，HAHD2.根据
4、等腰三角形知识可知 AD2 3.故选 C.6已知 A(2,3)，B(4,1)，C(1，1)，D 是线段 AB 的中点，延长 CD 到 E 使|DC|2|DE|，则 E 点坐标为()A.12，12B.3，32C.2，72D.43，43C解析：设 E(x，y)，由|DC|2|DE|得CD 2DE，点 D(1,2)，CD(2,3)，DE(x1，y2)，(2,3)2(x1，y2)，得x2，y72.7平面上有四个互异的点 A、B、C、D，已知(DB DC 2DA)(ABAC)0，则ABC 的形状为()A直角三角形B等边三角形C等腰直角三角形D等腰三角形D解析：由(DB DA DC DA)(ABAC)0，
5、(ABAC)(ABAC)0，AB 2AC 20.得|AB|AC|，故选 D.8已知点 O，N，P 在ABC 所在平面内，且|OA|OB|OC|，NANBNC 0，PAPBPBPCPCPA，则点 O，N，P 依次为ABC 的()A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心C解析：由|OA|OB|OC|，知点 O 为ABC 的外心如图，NANBNC 0，NBNC NA.由向量加法的平行四边形法则，知|NA|2|ND|，同理可得|NB|2|NE|，|NC|2|NF|，故点 N为ABC 的重心PAPBPBPC，(PAPC)PBCAPB0，PBCA，同理，得 PCAB，PAB
6、C，点 P 为ABC 的垂心二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)9若直线 l 过点 M(1,3)且与向量 n(1,2)垂直，则直线 l的方程为.x2y50解析：直线 l 与 n(1,2)垂直，n(1,2)是直线 l 的一个法向量设 P(x，y)为直线上任一点，则MP(x1，y3)是该直线的一个方向向量，nMP 0，(1)(x1)2(y3)0，即 x2y50.10已知直线 axbyc0 与圆 x2y21 相交于 A，B 两点，且|AB|3，则OA OB.12解析：如图，弦|AB|3，取弦中点 C，在OBC 中，sinCOB 32.COB60，BOA120.OA OB|OA|OB|cos12
7、012.11已知 P 为ABC 所在平面内一点，且满足AP15AC 25AB，则APB 的面积与APC 的面积之比为.12解析：由题意得 5APAC2AB，2AP2ABACAP2AP，2(PAPB)PC.如图所示，PC 2EP4OP，所以SAPBSAPC2SAPOSAPC 2|OP|PC|12.三、解答题(共 25 分)12(12 分)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACBC，D 是边 BC 的中点，E 是边 AB 上的点，且 AE2BE，求证：ADCE.证明：方法 1：(基向量法)AD CE(AC12CB)(CA23AB)(12CBCA)(CA23CB23CA)(12CBCA)(23CB
8、13CA)13CB 212CACB13CA 2.BCCA，CACB0.又 BCCA，|CB|CA|，AD CE13(|CB|2|CA|2)0，AD CE，即 ADCE.方法 2：(坐标法)以 CA，CB 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|CB|a，则 C(0,0)，A(a,0)，E(a3，2a3)，D(0，a2)，CE(a3，2a3)，AD(a，a2)，AD CEa23 2a3 a2a23 a23 0，AD CE，即 ADCE.13(13 分)设平面内的向量OA(1,7)，OB(5,1)，OM(2,1)，点 P 是直线 OM 上的一个动点，求当PAPB取最小值时，OP
9、的坐标及APB 的余弦值解：设OP(x，y)点 P 在直线 OM 上，OP 与OM 共线，即 x2y0.又PA(1x,7y)，PB(5x,1y)PAPB(1x)(5x)(7y)(1y)(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y125(y2)28.当 y2，x4 时，PAPB取得最小值8.此时PA(3,5)，PB(1，1)|PA|34，|PB|2，PAPB8，PA，PB834 24 1717，即APB 的余弦值为4 1717.能力提升14(5 分)已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC的重心，动点 P 满足OP 1312OA 12OB 2OC，则点 P 一定为ABC 的()A
10、AB 边中线的中点BAB 边中线的三等分点(非重心)C重心DAB 边的中点B解析：如图所示，设 AB 的中点为 M，则12OA 12OB OM，OP 13(OM 2OC)13OM 23OC，即 3OP OM 2OC，也就是MP 2PC，P，M，C 三点共线，且 P 是 CM 靠近 C 点的一个三等分点15(15 分)如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E是 BC 边的中点，点 F 在边 CD 上(1)若 O 是对角线 AC 的中点，AO AEAD(、R)，求 的值；(2)若AEBF 2，求线段 DF 的长解：(1)因为AO 12AC12(AEEC)12AE12AD 12AE14AD，所以 12，14，所以 34.(2)设DF mDC(m0)，则CF(m1)DC，AEAB12BC，BFCFBC(m1)DC BC(m1)ABBC，又ABBC0，所以AEBFAB12BC(m1)ABBC(m1)AB 212BC 22(m1)2 2，所以 m 22，所以|DF|m|DC|22 21，即 DF 的长为 1.谢谢观赏！Thanks!