1、31.3函数的奇偶性结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义新知初探自主学习突出基础性知识点偶、奇函数1偶函数一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则称yf(x)为偶函数2奇函数一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有_，且_，则称yf(x)为奇函数3奇、偶函数的图像特征(1)奇函数的图像关于_成中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)偶函数的图像关于_对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数状元随笔奇偶函数的定义域关于原点对称，反之
2、，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性基础自测1.(多选)设f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中错误的是()Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0 Df(0)02下列函数为奇函数的是()Ay|x| By3xCy1x3 Dyx2143若函数yf(x)，x2，a是偶函数，则a的值为()A2 B2C0 D不能确定4下列图像表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_(填序号)课堂探究素养提升强化创新性题型1函数奇偶性的判断教材P102例1例1判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)xx3x5；(2)f(x)x21；(3)f(x)x1；(4)f(x)x2，x1，
3、3.【解析】(1)因为函数的定义域为R，所以xR时，xR.又因为f(x)(x)(x)3(x)5(xx3x5)f(x)，所以函数f(x)xx3x5是奇函数(2)因为函数的定义域为R，所以xR时，xR.又因为f(x)(x)21x21f(x)，所以函数f(x)x21是偶函数(3)因为函数的定义域为R，所以xR时，xR.又因为f(1)0，f(1)2，所以f(1)f(1)且f(1)f(1)，因此函数f(x)x1既不是偶函数也不是奇函数(4)因为函数的定义域为1，3，而31，3，但31，3，所以函数f(x)x2，x1，3既不是奇函数也不是偶函数教材反思函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图像法：若函数
4、的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用在解选择、填空题中跟踪训练1判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x)1-x2x；(4)f(x)x+1，x0，-x+1，x0.先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断题型2函数奇偶性的图像特征经典例题例2设奇函数f(x)的定义域为5，5，若当x0，5时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)0的解集是_根据奇函数的图像关于原点对称作图，再求出f(x)0的解集方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称
5、性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题跟踪训练2如图，给出了偶函数yf(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小方法一利用偶函数补全图像，再比较f(1)与f(3)的大小；方法二f(1)f(1)，f(3)f(3)，观察图像判断大小题型3利用函数奇偶性求参数经典例题利用定义法求a，也可利用特值法f(1)f(1)例3(1)设函数f(x)x+1x+ax为奇函数，则a_；(2)已知函数f(x)-x2+x，x0，ax2+x，x0是奇函数，则a_方法归纳由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数
6、奇偶性定义的正用和逆用(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数跟踪训练3(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a2，2a，则a_，b_；(2)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_(1)函数具有奇偶性，定义域必须关于(0，0)对称(2)f(0)0？题型4函数的奇偶性和单调性的综合应用经典例题例4已知奇函数yf(x)，x(1，1)，在(1，1)上是减函数，解不等式f(1x)f(13x)0.状元随笔1.由奇函数得f(x)f(x)2函数单调递减，若f(x1)f(x2)得x1x2.3定义域易忽略方法归纳1函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(
7、x)是奇函数，且f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)在b，a上也为单调函数，且具有相同的单调性(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)在b，a上也为单调函数，且具有相反的单调性2利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响跟踪训练4(1)已知函数yf(x)在定义域1，1上是奇函数，又是减函数，若f(1a2)f(
8、1a)0，求实数a的取值范围(2)定义在2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围状元随笔(1)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系(2)两个自变量1m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理31.3函数的奇偶性新知初探自主学习知识点2xDf(x)f(x)3(1)原点(2)y轴基础自测1解析：由偶函数的定义知f(x)f(x)，所以f(x)f(x)0正确，f(x)f(x)0不一定成立f(x)f(x)f(x)20，f(0)0不一定成立故选ACD.答案：ACD2解析：A、D两项，函数均为偶函数，
9、B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数答案：C3解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a0，所以a2.答案：B4解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数答案：(2)(4)(1)(3)课堂探究素养提升跟踪训练1解析：(1)xR，xR.又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)为偶函数(2)xR，xR.又f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为1，0)0，1.即有1x1且x0，则1x1，且x0，又f(x)1-x2-x1-x2xf(x)，f(x)为奇函数(4)f(x)的定义域
10、是(，0)0，+，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)0，+，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数例2【解析】由奇函数的性质知，其图像关于原点对称，则f(x)在定义域5，5上的图像如图，由图可知不等式f(x)0的解集为x|2x0或2x5【答案】x|2x0或2x5跟踪训练2解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称，补全图如图由图像可知f(1)f(3)方法二由图像可知f(1)f(3)又函数yf(x)是偶函数，所以f(1)f(1)，f(3)f(3)，故f(1)f(3)例3【解析】(1)方法一(定义法
11、)由已知f(x)f(x)，即-x+1-x+a-xx+1x+ax.显然x0得，x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.方法二(特值法)由f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即-1+1-1+a-11+11+a1，整理得a1.(2)(特值法)由f(x)为奇函数，得f(1)f(1)，即a(1)2(1)(121)，整理得a10，解得a1.【答案】(1)1(2)1跟踪训练3解析：(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a22a0，解得a23.又f(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，即b2a0，解得b0.(2)由f(x)为奇函数得f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，所以a(
12、x)22(x)ax22x0.即2ax20，所以a0.答案：(1)230(2)0例4【解析】yf(x)，x(1，1)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(13x)0可化为f(1x)f(13x)，即f(1x)f(3x1)又yf(x)在(1，1)上是减函数，f(1x)f(3x1)-11-x1，-11-3x3x-10x2，03x2，x120x2，0x23，x12，0x12.即不等式解集为0，12.跟踪训练4解析：(1)由f(1a2)f(1a)0，得f(1a2)f(1a)yf(x)在1，1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)a-1，解得0a22，0a2，-2a1.0am，解得1m12.实数m的取值范围是-1，12.
