1、江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题.（每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】，则.故选：B.【点睛】本题考查交集的运算，考查了交集定义的应用，考查计算能力，属于基础题.2.设复数，则复平面内表示的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论.【详解】，则复数在复平面内对应的点的坐标为，因此，复平面内表示的点位于第四
2、象限.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题.3.向量（1，2），（2，1），则（ ）A. 5B. 3C. 4D. -5【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的数量积公式直接求解.【详解】解：因为向量（1，2），（2，1），所以，故选：C【点睛】此题考查平面向量的数量积计算，属于基础题.4.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，判断函数的奇偶性、零点，以及函数在时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】设，该函数的定义域为，所以，函数为奇函数，令，得，即，解得或.所以，函数的零点为、，排除A、D选项；当时，则，
3、排除B选项.故选：C.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查推理能力，属于中等题.5.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可.【详解】根据函数平移变换,由变换为,只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【
4、答案】C【解析】试题分析：因为所以选C考点：比较大小7.计算：的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，故选D8.某产品正品率为，次品率为，现对该产品进行测试，设第次首次测到正品，则P(3)（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知得“3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，由此能求出结果.【详解】解：因为某产品正品率为，次品率为，现对该产品进行测试，设第次首次测到正品，所以“3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，所以P(3) ，故选：C【点睛】此题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用，属于基础题
5、.9.若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）A. 85B. 84C. 57D. 56【答案】A【解析】【分析】先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：的展开式中二项式系数和为256故，要求展开式中的有理项，则则二项式展开式中有理项系数之和为：故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.10.某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖则他
6、获得奖次的不同情形种数为A. 9B. 12C. 18D. 24【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得甲第4次获得的红包有3种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的2种，分析前三次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有种情况，则他获得奖次的不同情形种数为种；故选C【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，注意“直到第4次才获奖”的含义还考查了分类思想，属于中档题.11.如图，为正方体，下列结论中正确的是 （ ）A. 平面
7、；B. 平面；C. 与底面所成角的正切值是；D. 过点与异面直线与成角的直线有2条.【答案】ABD【解析】【分析】根据线面垂直判定定理、线面角的定义、异面直线所成角的的定义，即可得答案；【详解】对A，平面，故A正确；对B，平面，故B正确；对C，与底面所成角的正切值是，故C错误；对D，异面直线与成，过点与异面直线与成角的直线有2条，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理及空间线面角、异面直线所成角的相关知识，考查空间想象能力、运算求解能力.12.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，表示由甲箱中取
8、出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 事件与事件相互独立D. 、两两互斥【答案】BD【解析】【分析】根据每次取一球，易得，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，再逐项判断.【详解】因为每次取一球，所以，是两两互斥的事件，故D正确；因为，所以，故B正确；同理，所以，故AC错误；故选：BD【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13.已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则
9、以下结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，由抛物线的定义可知，则为等边三角形，则，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，（抛物线定义），C选项正确；，D选项错误.故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二填空题(每小题4分，共16分)14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则_.【答
10、案】【解析】【分析】根据题意求得的值，然后利用奇函数的定义可得出的值.【详解】当时，由于函数是定义在上的奇函数，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.15.长方体的长、宽、高分别为、，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】设球的半径为，利用长方体的体对角线为球的直径可求得，然后再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为，由于长方体的体对角线为球的直径，则，因此，球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，利用长方体的体对角线为其外接球的直径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.16
11、.满足的正整数n的最大值为_；【答案】7【解析】【分析】由，对左边化简，再利用二项式定理可得结果.【详解】解：因为，所以，所以，因为，所以，即，所以满足正整数n的最大值为7故答案为：7【点睛】此题考查组合数公式和二项式定理，考查计算能力，属于基础题.17.已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.设函数.（1）若，则实数的取值范围为 _;（2）若且，则实数的取值范围为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）当时，在上为增函数，当时，利用二次函数
12、的单调性得到，即可得到答案.（2）首先利用导数求出满足时的范围，再求出满足且时的范围即可.【详解】（1）当时，在上为增函数，当时，因为，所以为增函数，即，解得.综上：，则.（2），若，则在恒成立，即，恒成立，所以，解得因为且，所以.故答案为：；【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，同时考查了二次函数的单调性，属于中档题.三解答题.(共82分)18.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中
13、为事件，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）由题意可知随机变量可取的值为、，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列及其数学期望的值.【详解】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：；（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、，.所以，随机变量的分布列如下：因此，随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用模式，其中语文、数学、英语三科为必考科
14、目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分.为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人数.（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下列
15、联表.选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计（i）请将列联表补充完整，并判断是否有以上的把握认为选择科目与性别有关系.（ii）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率.附：，其中.0.050.013.8416.635【答案】(1) ，55人 (2) （i）见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据题意可得求解即可得出的值，进而可得抽取的男生人数；（2）（i）根据题中数据先完善列联表，再由题中公式，求出的值，结合临界值表即可的结果；（ii）先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，4名女生，分别记
16、为，；用列举法分别列举出“6名学生中随机抽取2名”和“其中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即是所求概率.【详解】解：（1）由题意得，解得，则抽取的男生的人数为.（2）（i）选择“物理”选择“地理”总计男生451055女生252045总计7030100则，所以有以上的把握认为送择科目与性别有关系.（ii）由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，4名女生，分别记为，.从6名学生中随机抽取2名，有，共15种情况，其中至少有1名男生的有，共9种情况，故所求概率为.【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型问题，需要考生熟记分层抽样特征、独立性检验的思想、
17、以及古典概型的计算公式，属于常考题型.20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理处理，即可得出答案（2）展开，结合，和第一问计算出的角B的大小，即可得出A的值，结合正弦定理，代入，即可【详解】（1）角的对边分别为，且，由正弦定理得：， ，.（2），由正弦定理得：，.【点睛】本道题考查了正余弦定理，难度较大21.如图，在三棱柱中，侧面底面，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，点为的中点.（1）若平面与平面交于直线，求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1) 证明见解析； （2）【解析】【
18、分析】（1）由条件有平面，根据线面平行的性质可证.（2）先证明平面 ，然后建议空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1） 证明：在三棱柱中，平面 .所以平面，且平面平面平面所以，所以.（2）由四边形为菱形，且所以为等边三角形且点为的中点.则，又侧面底面.面底面.所以平面.又是等边三角形，且点为的中点.则.所以.以分别为 轴建立空间直角坐标系,所以 设面的一个法向量为. 则 ，即取设面的一个法向量为. 则 ，即取所以.所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查利用线面平行的性质证明线线平行和利用向量法求二面角，属于中档题.22.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与
19、椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点.已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析，直线方程为；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设点，则点，则，可知，求出直线、的斜率，进而可求得直线、的方程，联立直线、的方程，求得点的横坐标，即可得出结论；（3）由基本不等式可求得的最大值，进而可求得面积的最大值.【详解】（1）由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）设点，则点，易知点，则且
20、，直线的斜率为，则直线的方程为，同理可得直线的方程为，联立，解得，因此，点在一条定直线上，且定直线的方程为；（3）由（2）知，点的坐标为，由基本不等式可得，则，当且仅当时，等号成立，所以，.因此，面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明以及三角形面积最值的求解，考查计算能力，属于难题.23.设常数，函数（1）当时，判断在上单调性，并加以证明；（2）当时，研究的奇偶性，并说明理由；（3）当时，若存在区间使得在上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）在上是单调递减.证明见解析（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由函数的单调性定义即可证明（2）由函数的奇偶性定义即可证明（3）首先证明函数的单调性，当时证明函数在上单调递增，即，解关于一元二次方程即可；同理当时，求出单调区间，当函数是单调递减时，则代入化简即可求解【详解】解：（1）当时，任取则，即：在上是单调递减.（2）当时，为偶函数当时，则当且时，的定义域为定义域不关于原点对称为非奇非偶函数当时，的定义域为定义域关于原点对称为奇函数.（3）当时，定义域为单调递增，单调递减上单调递增由题意得：，是一元二次方程：的两个不等的正根当时，定义域为当时，的值域为，当时，单调递增，单调递减在上单调递减综上所述：的取值范围是.【点睛】本题考查函数的单调性证明、奇偶性证明及利用单调性求值，属于基础题