1、长春市十一高中2015-2016学年度高二上学期期末考试数学试题（理科） 组题人：宋国旗 审题人：陈勇 2016.1.12 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.若直线与直线互相平行，则的值为（ ）A B C D3.以椭圆的焦距为实轴，短轴为虚轴的双曲线方程为（ ）A. B. C. D.4.圆和圆的位置关系是（ ）A.相
2、离 B.外切 C.相交 D.内切5.下列说法错误的是（ ）A命题：“”，则：“”B命题“若,则”的逆否命题是假命题C命题“若，则方程有实数根”的否定是“若，则方程没有实数根”D.若为假命题，则为假命题6已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )A在上为减函数 B在处取极小值 C在处取极大值 D在上为减函数7.已知变量,满足约束条件,则目标函数的取值范围是（ ）A. B C D 8.已知过定点的直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积最大值时，直线的斜率为（ ）A. B. C. D.9已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
3、A. B C D10.已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（ ）A B C D11.已知抛物线的焦点为，是上一点，是轴上方一点，若是等边三角形，则的值为( )A. B. C. D.12.已知椭圆与双曲线 有相同的焦点,点是两曲线的一个公共点,且分别是两曲 线的离心率,当取得最小值时，的离心率等于( ) A B C D第卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 .14.已知点是抛物线的焦点，点是其上的动点，若，则点的轨迹方程是 .15.周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大
4、值为 . 16.定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分）已知，其中.（）若，且为真，求的取值范围；（）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围18.(本小题满分12分）已知圆过点,且圆心在直线上.（）求圆的方程；（）若直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程及的最小值.19.(本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到准线的距离为（）求抛物线的标准方程；（）设直线与抛物线的另一交点为，求的值.20.(本小题满分12分）已知函数,.（）若，求曲线
5、在点处的切线方程；（）求函数的单调区间.21.(本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其上一点与左、右焦点组成的三角形的周长为.（）求椭圆的标准方程；（）已知直线与椭圆交于不同的两点,若以线段为直径的圆过点，求的面积.22.(本小题满分12分）已知函数（）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（）若，求函数的最大值和最小值参考答案1.A【解析】本题主要考查充要条件.因为“”时,恒成立;即或.所以“”是“”的充分不必要条件.选A. 2.B【解析】本题主要考查两直线平行的充要条件.因为,所以,因为,所以,因为直线与直线互相平行,所以.故选B. 3.B【解析】本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质.椭圆
6、的焦距为,短轴长为;因为双曲线以椭圆的焦距为实轴,短轴为虚轴,所以双曲线的方程为,即.故选B. 4.C【解析】本题主要考查圆与圆的位置关系.圆,即: , 半径,圆心为;圆,即,半径,圆心为,因为,所以,所以圆和圆的位置关系是相交.故选C. 5.D【解析】本题主要考查简易逻辑.对A,命题:“”,:“”所以A正确;对B, 若,则或,所以命题“若,则”为假命题,所以逆否命题是假命题,所以B正确;对C, 命题“若,则方程有实数根”的否定是“若,则方程没有实数根”,所以C正确;对D, 若为假命题,则或至少一个为假命题,所以为假命题或真命题,所以D错误.故选D. 6.D【解析】本题主要考查导函数的图象与性
7、质.由图知,时,所以在上为增函数,所以排除A;时,所以在上为减函数,所以在在处取极大值,排除C;时, 所以在上为增函数, 所以在在处取极小值,排除B;时,所以在上为减函数,所以D正确.故选D. 7.A【解析】本题主要考查简单的线性规划问题.画出可行域(如图所示);表示过定点的直线的斜率;当过点时,z取得最大值=;当过点时,z取得最小值=;所以目标函数的取值范围是.故选A.【备注】体会数形结合思想.8.C【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.曲线整理得,由题意知,过定点的直线斜率存在,设直线斜率,所以直线,即,当的面积最大时,圆心到直线的距离为1,所以,解得.故选C. 9.D【解析】本题主要考
8、查双曲线的标准方程与几何性质.倾斜角为60的直线的方程为;由题意得,而,可得;所以此双曲线离心率的取值范围是.故选D.【备注】双曲线,离心率;10.B【解析】本题主要考查椭圆的几何性质.由题意得,联立,解得;而,在三角形中,由余弦定理得=,所以.故选B.【备注】椭圆,离心率.11.A【解析】本题主要考查抛物线的几何性质.画出图形(如图所示)因为是等边三角形,由抛物线的几何意义可得,所以;即的值为.选A.【备注】体会数形结合思想.12.C【解析】本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程与几何性质.因为椭圆与双曲线有相同的焦点,令它们的焦距;令椭圆长轴长为,双曲线实轴长为;不妨设点在双曲线的右支上,由题
9、意得,而,所以,联立方程可得;而=(当且仅当时等号成立);当取得最小值时,即,所以的离心率等于.故选C.【备注】双曲线,离心率.13.【解析】本题主要考查函数的单调性.,因为函数在区间上不是单调函数,所以在区间上有根,所以,解得,.实数的取值范围是. 14.【解析】本题主要考查抛物线,平面向量,点的轨迹.令点,点,由题意得;因为,所以为的中点,所以,即;而点是抛物线上的动点,所以,即 15.【解析】本题主要考查空间几何体的体积.令矩形的一边为,则另一边为;若绕边旋转成一个圆柱,则,当时单增,当时单减,所以当时,圆柱体积取得最大值. 16.【解析】本题主要考查导数在研究不等式中的应用.构造函数,
10、则=,而,即,即,即函数单减,而,所以,不等式转化为,结合函数的单调性可得,即不等式的解集为. 17.()由,解得,所以;又,因为,解得,所以.当时,又为真,都为真,所以.()由是的充分不必要条件,即, ,其逆否命题为,而,所以,解得;所以实数的取值范围是.【解析】本题主要考查一元二次不等式,命题及其关系,逻辑联结词,充分必要条件. ();当时,又为真,都为真,所以;()逆否命题为,所以,解得. 18.()设圆的方程;所以,解得;所以圆的方程.()直线方程可化为点斜式,所以过定点;又点在圆内,当直线与垂直时,直线被圆截得的弦最小;因为,所以斜率,所以的方程为,即,因为,所以.【解析】本题主要考
11、查直线与圆的位置关系,圆的标准方程. ()解得,所以圆的方程;()直线方程可化为点斜式,当直线与垂直时,直线被圆截得的弦最小,所以的方程为,所以. 19.()由题意,消去得;因为,解得;所以;所以抛物线标准方程为.()因为,所以,直线的方程为,联立方程得方程组,消去得,解得,将代入,解得;由焦半径公式;所以.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系. ()由题意,解得,所以,所以抛物线标准方程为;()联立方程得方程组,解得,由焦半径公式,所以.【备注】考查直线与圆锥曲线的位置关系,椭圆、双曲线的标准方程,圆锥曲线中参数的求解.体会化归与转化思想,设而不求的思想.20.()
12、定义域为,当时,则,则在处切线方程是:,即.(),令,解得:,(1)当时,函数在上递增;(2)当时,解得:或递增;,解得:递减;(3)当时,解得:递增.,解得:递减.综上:(1)当时,间为;(2)当时,的增区间为;减区间为;(3)当时,的增区间为;减区间为;【解析】本题主要考查导数的几何意义,导数在研究函数中的应用. ()在处切线方程是:;(),令,解得:,分类讨论可得的单调区间. 21.()由题意可知,解得,又,解得,则椭圆方程为.()联立方程得方程组,消去整理得:,则,解得,因为,即,设,则,又,又,由题意,又,代入,有,即,由,解得,直线方程为点到直线的距离=,所以的面积.【解析】本题主
13、要考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系. (),解得,椭圆方程为;()联立方程得方程组,消去整理得:,套用韦达定理得点到直线的距离=,所以的面积.【备注】考查直线与圆锥曲线的位置关系,椭圆、双曲线的标准方程,圆锥曲线中参数的求解.体会化归与转化思想,设而不求的思想.22.(),因为在上是增函数,所以在上恒成立,即在上恒成立,而在上的最小值为1;所以.(),(1)当即时,因为,所以,所以在上是增函数,所以;(2)当,即时,令,得,当时,所以在上是增函数,当时,所以在上减函数,所以是极小值点,也是最小值点,又当,即时,当,即时,(3)当,即时,因为,所以在上是减函数,综上:,【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用. ();因为在上是增函数,所以在上恒成立;即;(),分类讨论可得,.【备注】合理构造函数,体会分类讨论思想、化归与转化思想.